Сигнал с тональной угловой модуляцией

Простейший вид модуляции - тональный. Сигнал с тональной угловой модуляцией запишем в виде

(15)

где

Спектр сигнала определяется при разложении в ряд Фурье комплексной огибающей сигнала. При

(16)

Используя соотношение, известное из теории Бесселевых функций

где - функция Бесселя первого рода n-го порядка от аргумента z,

,

для комплексной огибающей сигнала получим

(17)

Подставляя (17) в (15), запишем

(18)

Анализ (18) показывает следующее. Спектр сигнала с угловой тональной модуляцией является дискретным. Гармоники спектра отличаются друг от друга на частоты, кратные частоте модуляции.

Амплитуды составляющих спектра определяются функциями Бесселя. Функции Бесселя являются специальными функциями, описываются выражением

(19)

Графики функций Бесселя изображены на рис.4.

Рисунок 4

Как следует из (18), сигнал с угловой тональной модуляцией включает несущее колебание с амплитудой и бесконечное множество парных боковых составляющих с частотами амплитудами . Причем фазы верхних и нижних составляющих сигнала нечетных номеров n отличаются на величину . Амплитудные спектры сигналов для некоторых значений m приведены на рис.5. Наибольшее значение амплитуды имеет составляющая, номер которой определяется эмпирическим выражением [4]

(20)

По мере увеличения номера n амплитуды боковых составляющих убывают, стремясь к нулю. Ширина спектра определяется эмпирическим выражением

(21)

Рисунок 5

Как следует из (21), при увеличении индекса модуляции ширина спектра стремится к величине (или 2 ). Следовательно, при больших индексах модуляции ширина спектра сигнала, можно считать, равна удвоенному значению девиации. При малом индексе модуляции ширина спектра стремится к удвоенному значению частоты модуляции (2 ).

При малом индексе модуляции (m<<1) можно принять

при (22)

С учетом (22) выражение (18) запишется в виде

(23)

Спектр такого сигнала подобен спектру AM сигнала и включает: несущее колебание с амплитудой и две боковые составляющие с частотами и амплитудами . Причем фаза нижней составляющей смещена по отношению к верхней на величину . Ширина спектра равна удвоенной частоте модуляции (2 ).

Средняя мощность сигнала с угловой модуляцией может быть определена из (18) как

(24)

где - средняя мощность несущего колебания,

(25)

Как следует из (24), средняя мощность сигнала с угловой модуляцией равна средней мощности несущего колебания.