Типовые задачи

1. Установить, сравнимы ли числа а = 67 и b = – 23 по модулю 18.

Решение.

Составим разность а – b = 67 – (– 23) = 90. Так как а – b = 90 делится на 18, то по лемме 67  – 23 (mod 18).

2. Установить, является истинными или ложными данные сравнения:

1) – 53  – 38 (mod 5); 2) 3а + 2  9 – 4а (mod 7), а  Z.

Решение.

1) Составим разность ( – 53) – (– 38) = – 15. Так как – 15 5, то сравнение истинно.

2) Составим разность ( 3а + 2) – (9 – 4а) = 7а – 7 = 7(а – 1). Так как 7(а – 1) 7 при любом целом а, то сравнение истинно.

3. Доказать, что .

Решение.

1) 2 479 = 2 476 + 3 = 4619 + 3  2 479 при делении на 4 даёт остаток r = 3,

155 = 152 + 3 = 4  38 + 3  155 при делении на 4 даёт остаток r = 3;

2) из шага 1) по определению 1 следует, что 2 479  155 (mod 4);

3) по следствию 2 свойства 5⁰ числовых сравнений имеем: .

4. Упростить обе части сравнения 2238 а  4596 b (mod 15), а, b  Z, а  0, b  0.

Решение.

1-й способ.

1) по свойству 6⁰ вычтем из каждой части сравнения числа, очевидно кратные модулю15:

2238 а – 1500 а  4596 b – 4500 b (mod 15), то есть 738 а  96 b (mod 15);

2) аналогично 738 а – 600 а  96 b – 90 b (mod 15), то есть 138 а  6 b (mod 15);

3) аналогично 138 а – 120 а  6 b (mod 15), то есть 18 а  6 b (mod 15);

4) аналогично 18 а – 15 а  6 b (mod 15), то есть 3 а  6 b (mod 15);

5) сократить обе части сравнения на 3 нельзя (!), так как (3; 15)  1 (свойство 8⁰).

Но: можно обе части сравнения и модуль разделить на 3 (свойство 10⁰), получим:

а  2 b (mod 5).

2-й способ.

1) 2238 делим на15: 2238 = 15 149 +3. Значит, из левой части можно вычесть 15149 а (свойство 6⁰): 2238 а – 15 149 а  4596 b (mod 15), то есть 3 а  4596 b (mod 15);

2) 4596 делим на15: 4596 = 15 306 +6. Значит, из правой части можно вычесть 15306 b (свойство 6⁰): 3 а  4596 b – 15306 b (mod 15), то есть 3 а  6 b (mod 15);

3) далее – см. 1-й способ, пункт 5). Ответ: а  2 b (mod 5).

Упражнения для самостоятельной работы

114. Запишите с помощью сравнения соотношение между данными числами, если известно, что: а) числа 17 и 62 при делении на 5 имеют одинаковые остатки;

б) число – 352 при делении на 31 даёт остаток, равный 20;

в) число 258 делится без остатка на 3.

115. Установите, сравнимы ли числа а и b по модулю т, если:

а) а = 18, b = 73, т = 5; б) а = – 34, b = 42, т = 11.

116. Установите, являются ли данные сравнения истинными или ложными:

а) 35  – 75 (mod 10); б) 81  – 4 (mod 3); в) 18  33 (mod 15);

г) 2³  1 (mod 4); д) 546  0 (mod 13); е) 5435  77 (mod 5);

ж) 3m  5m (mod m); з) 8m – 5  11m –5 (mod m); и) 3m 1 (mod m) (m>1);

к) (m – 1)²  1 (mod m); л) 30  19  81 17 (mod 6); м) 5¹⁹⁹⁸  1999 (mod 5).

117. Докажите: если a т, где а  Z, т  N, т 1, – то а  0 (mod m) и обратно.

118. Запишите с помощью сравнения множество нечётных чисел п = 2к + 1.

119. Запишите множество значений переменной х, удовлетворяющих сравнению:

а) х  5 (mod 7); б) х  0 (mod 17); в) 3 х  1 (mod 2).

120. Приведите примеры целых чисел, сравнимых с числом 7 по модулю 9.

121. Приведите примеры целых чисел, сравнимых по модулю 11.

122. Упростите данное сравнение, сопровождая каждое преобразование ссылкой на соответствующее свойство числовых сравнений:

а) 30 – 40 m + 7 n  5 m – 36 – 20 n (mod 12); б) 27a +17+ b 19 b – 31 (mod 48).

123. Докажите: если a  b (mod m) и m n, то a  b (mod n).

124. Докажите: а) 1² + 3² + 5² + 7²  4 (mod 10); б) 1⁴ + 2⁴+ 3⁴ + 4⁴ + 5⁴  – 1 (mod 10).

125. Запишите с помощью числового сравнения множество всех чисел, оканчивающихся а) в десятичной системе счисления - на 3; б) в 7 -ричной системе счисления - на 5.

126. Пользуясь свойствами числовых сравнений, найдите остаток от деления:

а) числа 38² на 6; б) числа 2002² на 5; в) числа 57³ на 9; г) числа 2375⁴ на 8.

127. Найдите остаток от деления: а) 12 ¹⁰⁰ на 15; б) числа (23 642 540) ⁴ на 7;

в) 6 ¹⁰⁰⁰ на 8; г) числа (195 743 264) ¹⁴ на 6. .

128. Докажите, что: а) 3 ^4п – 1 (где п  ) делится без остатка на 80;

б) 2 ^5п + 1 (где п - нечётное число) делится без остатка на 33;

в) 1 + 3 ^{3п + 1} + 9 ^{3п + 1} (где п  ) делится без остатка на 13.

129. Докажите: если ab (mod m₁) и ab (mod m₂), то ab (mod т), где т = НОК(m₁, m₂)