- •Глава 1. Теория делимости целых чисел
- •§ 1. Отношение делимости в кольце целых чисел основные сведения из теории
- •1. Деление без остатка (нацело)
- •1. 1. Определение 1.
- •1. 2. Определение 2.
- •1. 3. Основные свойства делимости (везде a, b, c – целые числа).
- •130. Следствие из 110 и 120 :
- •2. Деление с остатком
- •1. 4. Определение 3.
- •1. 5. Теорема 1.
- •Типовые задачи
- •Решение.
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •§ 2. Наибольший общий делитель (нод) целых чисел. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное (нок) основные сведения из теории
- •1. Наибольший общий делитель (нод) нескольких целых чисел
- •2. 1. Определение 1.
- •2. 2. Определение 2.
- •Пусть а, b z, b 0. Выполним последовательно деление:
- •Наибольший общий делитель равен последнему отличному от нуля остатку.
- •2) Обобщение теоремы 2.
- •2. 6. Свойство нод.
- •2. Взаимно простые числа
- •2. 7. Определение 3.
- •2. 8. Свойства взаимно простых чисел.
- •3. Наименьшее общее кратное (нок) нескольких целых чисел
- •2. 9. Определение 4.
- •2. 10. Определение 2.
- •4. Связь нод и нок двух натуральных чисел
- •Типовые задачи
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •§ 3. Простые и составные числа. Каноническая форма натурального числа основные сведения из теории
- •1. Определения простых и составных чисел
- •3. 1. Определение 1.
- •3. 2. Определение 2.
- •2. Свойства простых чисел
- •3. Каноническая форма натурального числа (основная теорема арифметики целых чисел)
- •3. 9. Теорема 3.
- •3. 11. Определение 3.
- •Типовые задачи
- •Решение.
- •Решение.
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •Глава 2. Числовые сравнения. Классы вычетов по данному модулю
- •§ 5. Числовые сравнения по данному модулю
- •Основные сведения из теории
- •5. 1. Определение 1.
- •5. 2. Лемма.
- •5. 4. Свойства числовых сравнений, аналогичные свойствам числовых равенств.
- •5. 5. Свойства числовых сравнений, зависящие от модуля (не аналогичные свойствам числовых равенств).
- •Типовые задачи
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •§ 6. Классы вычетов по модулю т . Полная и приведённая системы вычетов основные сведения из теории
- •6. 1. Определение 1.
- •6. 2. Свойства множества классов вычетов по модулю т:
- •6. 3. Определение 3.
- •6. 4. Отметим, что:
- •6. 5. Теорема 1.
- •6. 6. Теорема 2.
- •6. 7. Определение 4.
- •6. 8. Определение 5.
- •6. 9. Отметим, что:
- •6.11. Теорема 3.
- •6.12. Определение 6.
- •6.13. Определение 7.
- •6.14. Теорема 4.
- •Типовые задачи
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •§ 7. Теорема эйлера. Малая теорема ферма основные сведения из теории
- •7. 1. Теорема 1.
- •7. 3. Теорема Эйлера.
- •7. 5. Обобщёння теорема Ферма.
- •Типовые задачи
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •Глава 3. Арифметические приложения теории числовых сравнений
- •§ 8. Систематические числа
- •Основные сведения из теории
- •1. Целые систематические числа
- •8. 1. Определение 1.
- •8. 2. Определение 2.
- •2. Систематические дроби
- •8. 8. Определение 3.
- •8. 9. Следствие 1.
- •8.10. Определение 4.
- •8.11. Определение 5.
- •Типовые задачи
- •Решение.
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •§ 9. Переход от рационального числа вида к систематической дроби основные сведения из теории
- •9. 2. Выводы.
- •9. 3. Отметим, что:
- •Типовые задачи
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •§ 10. Теорема паскаля. Признаки делимости основные сведения из теории
- •10. 2. Следствие.
- •Типовые задачи
- •1) Признаки делимости на 3 и на 9.
- •2) Признак делимости на 11.
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •Глава 4. Сравнения с одной неизвестной по данному модулю
- •§ 12. Основные понятия. Равносильность сравнений
- •Основные сведения из теории
- •12. 1. Определение 1.
- •12. 2. Определение 2.
- •12. 3. Теорема 1.
- •12. 4. Определение 3.
- •12. 5. Определение 4.
- •12. 6. Теоремы равносильности сравнений с одной неизвестной.
- •12. 7. Следствие 1.
- •12. 8. Теорема 2 о замене коэффициентов сравнения.
- •12. 9. Следствие 2.
- •12.10. Определение 5.
- •12.11. Теорема 3.
- •Типовые задачи
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •§ 13. Линейные сравнения с одной неизвестной основные сведения из теории
- •13. 1. Определение 1.
- •13. 2. Техника решения сравнения а х b (mod m) .
- •13. 3. Теорема 1.
- •В самом деле:
- •13. 4. Определение 2.
- •13. 5. Теорема 2.
- •13. 6. Теорема 3.
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •§ 14. Системы линейных сравнений с одной неизвестной основные сведения из теории
- •14. 1. Определение 1.
- •14. 2. Определение 2.
- •14. 3. Следствие 1.
- •14. 4. Теорема 1.
- •14. 5. Следствие 2.
- •Типовые задачи
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •Глава 5. Конечные цепные дроби
- •§ 16. Понятие конечной цепной дроби основные сведения из теории
- •16. 1. Определение 1.
- •16. 3. Алгоритм преобразования несократимой дроби в конечную цепную дробь.
- •16. 4. Рассмотрим конечные цепные дроби:
- •Обозначение k-й подходящей дроби: , где Pk – числитель k-й подходящей дроби,
- •16. 6. Алгоритм вычисления Pk и Qk.
- •Типовые задачи
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •§ 17. Решение сравнений вида ах b (mod m) с помощью конечных цепных дробей основные сведения из теории
- •Типовые задачи
- •Упражнения для самостоятельной работы
Решение.
1) Разложим числа а и b на простые множители и представим их в канонической форме.
2 520 1 260 630 315 105 35 7 1 |
2 2 2 3 3 5 7 |
2 520 = 23 32 51 71 |
825 275 55 11 1 |
3 5 5 11
|
825 = 31 52 111 |
2) Для нахождения d = НОД(a; b) из канонических разложений чисел а и b выпишем общие простые множители с наименьшими показателями степеней и перемножим их: d = 3 5 = 15.
3) Для нахождения т = НОК(a; b) из канонических разложений чисел а и b выпишем каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим их: т = 23 32 52 71 111 = 138 600.
Найдём d m = 15 138 600 = 2 079 000. Найдём a b = 2 520 825 = 2 079 000. |
Отсюда следует, что d m = a b. |
Упражнения для самостоятельной работы
(Примечание: в задачах этого параграфа a, b Z, n N, p и q - простые числа).
74. Выпишите все простые числа, заключённые между 0 и 20.
75. Являются ли простыми данные числа:
а) n = 1; б) n = 2; в) n = 127; г) n = 109;
д) n = 177; е) n = 221; ж) n = 247; з) n = 281 ?
76. С помощью “решета Эратосфена” найдите все простые числа, заключённые между: а) 60 и 80; б) 100 и 120; в) 150 и 170; г) 190 и 210.
77. Известно, что простое число р делится без остатка на n. Какие значения может принимать n ?
78. Докажите, что если 0 < n < p, то НОД (n, p) = 1.
79. Докажите, что любое простое число р (р 5) при делении на 6 даёт остаток 1 или 5.
95. Данные натуральные числа представьте в канонической форме:
а) 48; б) 72; в) 224; г) 131; д) 960; е) 1188; ж) 2535; з) 15400.
96. Установите, может ли число быть делителем числа п и если может, то найдите частное п : = q, где
а) n = 23 54 , = 22 3 53 ; б) n = 23 3 55 , = 22 3 53 ;
в) n = 34 52 73 , = 3 52 72 ; г) n = 2 35 72 , = 22 34 7.
97. Представьте данные числа a и b в канонической форме и найдите d = НОД (a, b) и m = НОК (a, b). Проверьте справедливость равенства: d m = a b.
а) a = 36, b = 24; б) a = 144, b = 192; в) a = 544, b = 2250;
г) a = 368, b = 552; д) a = 1694, b = 2695; е) a = 72765, b = 9075.
Глава 2. Числовые сравнения. Классы вычетов по данному модулю
§ 5. Числовые сравнения по данному модулю
Основные сведения из теории
5. 1. Определение 1.
Целые числа a и b называются равноостаточными (или сравнимыми) по данному модулю т (т N, т > 1), если при делении на число т они имеют равные остатки.
Число т называется модулем и обозначается mod m. Тогда запись вида
а b (mod m) называется числовым сравнением (читается: число а сравнимо с числом b по модулю т).
В этой записи числа a и b сравнимы (равноостаточны) по модулю т .
Пример. Так как и число 8, и число 32 при делении на 6 имеют остаток r, равный 2, то эти числа сравнимы по mod 6, т. е. 8 32 (mod 6).
Аналогично 73 – 27 (mod 10) (остаток r = 3); 36 12 (mod 4) (остаток r = 0) и т.д.