§ 3. Простые и составные числа. Каноническая форма натурального числа основные сведения из теории

1. Определения простых и составных чисел

3. 1. Определение 1.

Натуральное число р называется простым, если оно имеет два и только два различных делителя: 1 и само число р.

Например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . – простые числа.

3. 2. Определение 2.

Натуральное число п называется составным, если оно имеет по крайней мере три различных делителя.

Иными словами, существует    ,    п, такое, что п .

3. 3. Отметим, что п = 1 не является ни простым, ни составным числом.

3. 4. Лемма.

Всякое натуральное число п > 1 имеет по крайней мере один простой делитель р (то есть п р ).

3. 5. Теорема 1.

У всякого составного натурального числа п существует наименьший простой делитель р, удовлетворяющий условию: .

3. 6. Следствие 1.

Если ни одно из простых чисел, меньших , не является делителем натурального числа п, – то число п – простое .

3. 7. Теорема 2 – теорема Евклида .

Множество простых чисел бесконечно (иначе: не существует самого большого простого числа).

2. Свойства простых чисел

1⁰ Если число п – натуральное, р – простое, то либо п р, либо (п; р) = 1 .

2⁰ Если р и q – простые числа и р q,– то р = q.

3⁰ Любые два неравные простые числа р и q (р  q) – взаимно простые, т.е. (р; q) = 1.

4⁰ Если произведение нескольких целых чисел делится на простое число р, – то хотя бы один из множителей делится на р,

то есть если (а b) р, – то либо a р, либо b р , либо и a р, и b р.

3. 8. Следствие 2. Если п² р, – то п р .

3. Каноническая форма натурального числа (основная теорема арифметики целых чисел)

3. 9. Теорема 3.

Всякое натуральное число п > 1 можно однозначно (с точностью до порядка следования множителей) представить в виде произведения конечного числа простых чисел: п = р₁  р₂  …  р_t (все р_i – простые числа).

3. 10. Следствие 3. Объединив все равные простые числа, получим:

(6)

3. 11. Определение 3.

Представление натурального числа п в виде (6) называется каноническим разложением (канонической формой) данного натурального числа.

Пример. Пусть п = 120. Тогда 120 = 2³ 3¹ 5¹ – каноническая форма числа 120.

3. 12. Основная теорема арифметики целых чисел устанавливает возможность представления любого числа п N в виде (6).

Типовые задачи

1. Установить, является ли число п = 359 простым.

Решение.

1) Найдём = 18, … 2) Выпишем все простые числа, не превосходящие числа 18: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. 3) Число п = 359 не делится ни на одно из этих чисел (проверьте!). Значит, п = 359 – простое число.

2. Даны числа а = 2520 и b = 825. 1) Представить эти числа в канонической форме; 2) найти d = НОД(a; b), m = НОК(a; b) и проверить справедливость равенства: d m = a b.