4. Связь нод и нок двух натуральных чисел

2. 13. Теорема 4.

Для любых а, b  N: НОД (а; b)  НОК (а; b) = a  b ( 5)

2. 14. Следствие.

Для любых а, b  N: (5а)

Типовые задачи

1. С помощью алгоритма Евклида найти: а) НОД (56; 32); б) НОД (56; – 32).

Решение.

a) 56 ­_32_ 32 1 = q1 32 ­_24_ = r1 24_ 1 = q2 24 ­_8_ = r2 = d 24_ 3 = q2 0 = r3

б) 56  – 32_ 32 –1 = q1 – 32  24 = r1 – 48 – 2 = q2 24 16 = r2 16 1 = q3 16  8_ = r3 = d 16 2 = q4 0 = r4

Ответ: а) НОД (56; 32) = r₂ = 8; б) НОД (56; – 32) = r₃ = 8.

2. Составить линейное представление наибольшего общего делителя чисел а = 56 и b = – 32 через эти числа.

Решение.

1) С помощью алгоритма Евклида найдём d = НОД (56; – 32) (см. пример 1 б) ).

Заметим, что здесь r₁ = 24, r₂ = 16, r₃ = 8, r₄ = 0, q₁ = –1, q₂ = – 2, q₃ = 1. При этом d = НОД (56; – 32) = r₃ = 8.

2) Подберём коэффициенты с₁ и с₂  Z так, чтобы по (2) а с₁ + b с₂ = d.

Согласно алгоритму Евклида имеем:

a = b  q₁ + r₁ , или a = b  (– 1) + r₁ , откуда r₁ = a + b;

b = r₁  q₂ + r₂ , или b = r₁ (– 2) + r₂ , откуда r₂ = b + 2 r₁ = b + 2a + 2b = 2a + 3b;

r₁ = r₂ q₃ + r₃ , или r₁ = r₂  1 + r₃ , откуда r₃ = r₁ – r₂ = (a+b)–(2a+3b) = – a – 2b.

3) Итак, d = r₃ = – a – 2b. Проверка: – a – 2b = – 56 – 2( – 32) = 64 – 56 = 8 = d.

Ответ: d = – a – 2b, то есть с₁ = – 1 и с₂ = – 2 .

3. Найти наименьшее общее кратное чисел а = 56 и b = 32.

Решение.

1-й способ. По формуле ( 5 ) : НОК (56; 32) = .

2-й способ. По формуле ( 4 ): НОК (56; 32) = 8  НОК (7; 4) = 874 = 224 (учитывая,

что 7 и 4 – взаимно простые).

Ответ: НОК (56; 32) = т = 224.

4. Сократить дробь: .

Решение.

1) С помощью алгоритма Евклида найдём d = НОД (1677; 2795) = 559. Это означает, что числитель и знаменатель делятся на 559, то есть дробь сократима на 559.

2) Поэтому = . Ответ: .

Упражнения для самостоятельной работы

21. Пусть НОД (а, b) = d, a > b. Может ли быть d = 1; d = –3; d = 0 ?

22. Пусть НОД (а, b) = d, a > b > 0. Может ли быть d > b; d = b; d < b ?

23. Пусть НОД (а, b) = d, a < b. Может ли быть d < a; d = a; d > a ?

24. Пусть a . Чему равен НОД (а, 1) ? НОД (а, 0) ? НОД (– а, 1) ? НОД (– а, – 1) ?

25. С помощью алгоритма Евклида найдите наибольший общий делитель данных целых чисел:

а) 336 и 640; б) 288 и 300; в) 85 и 76; г) 144 и 160; д) 189 и 21;

е) 851 и 690; ж) 306 и 340; з) 75 и 300; и) 190 и 266; к) – 92 и 130;

л) – 70 и 56; м) –600 и 756; н) – 48 и – 72; о) – 39 и – 35; п) – 24 и 60.

26. Докажите формулу (3): НОД (kа, kb) = k  НОД (а, b) (kN) .

27. Найдите наибольший общий делитель данных чисел с помощью формулы (3):

а) 48 и 72; б) 144 и 90; в) 120 и 270; г) 35 и 33.

28. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 126, 420 и 525; б) 120, 300 и 330; в) 270, 288 и 900;

г) 56, 72, 48 и 100; д) 126, 90, 84 и 54. е) 87, 93 и 79.

29. Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя и сократите дроби:

В примерах 33 – 46 осуществите линейное представление наибольшего общего делителя d данных чисел a и b через эти числа (то есть подберите коэффициенты c₁ и c₂ так, чтобы выполнялось равенство: d = a c₁ + b c₂ ).

33. a = 28, b = 20. 34. a = 18, b = 14. 35. a = 88, b = 14. 36. a = 27, b = –21.

37. a = –56, b = 18. 38. a = 90, b = 35. 39. a = –27, b = 21. 40. a = –36, b = 63.

41. a = 1232, b =1672. 42. a = 77, b = 8. 43. a = 174, b = –26. 44. a = –136, b =25.

45. a = 88, b = – 14. 46. a = – 86, b = 56.

В примерах 47 – 48 подберите коэффициенты k₁ , k₂ и k₃ так, чтобы выполнялось равенство: НОД (а, b, с) = d = a k₁ + b k₂ + с k₃ .

47. а = 50, b = 46, с = 34. 48. а = 174, b = 33, с = – 26.

49. Определите, являются ли данные три числа взаимно простыми, либо попарно взаимно простыми, либо одновременно и теми, и другими:

а) а = 16, b = 27, с = 25; б) а = 8, b = 15, с = 12;

в) а = 6, b = 1; с = 14; г) а = 10, b = 27, с = 77.

50. Дано: (а, b) = 1, (b, c) = 1. Следует ли отсюда, что (а, c) = 1 ?

51. Найдите наименьшее общее кратное данных чисел:

а) 48 и 72; б) 36 и 54; в) 180 и 350; г) 264 и 165; д) 600 и 756;

е) 273 и 455; ж) 206 и 291; з) 78, 39 и 65; и) 270, 288 и 900; к)72, 120, 180 и 240.

52. Найдите наименьший общий знаменатель данных дробей:

53. Докажите формулу (4): НОК (kа, kb) = k  НОК (а, b) (kN).

54. Найдите наименьшее общее кратное данных чисел с помощью формулы (4):

а) 24 и 96; б) 75 и 100; в) 95 и 55; г) 84 и 210.