Пусть а, b  z, b  0. Выполним последовательно деление:

b>r₁> r₂>…>r_n> r_n+1 = 0

Тогда НОД (а; b) = r _п  0. (1)

Наибольший общий делитель равен последнему отличному от нуля остатку.

2. 5. Линейное представление НОД нескольких чисел.

1) Теорема 2.

Если НОД(а, b) = d, где а, b  Z, – то существуют числа с₁, с₂  Z такие, что а с₁ + b с₂ = d (2)

Это равенство называется линейным представлением НОД , то есть с помощью равенства (2) d линейно выражается через данные числа а и b.

Пример. Пусть а = 6, b = 8. Имеем: d = НОД (6; 8) = 2. Тогда

6  (– 1) + 8  1 = 2 = d, или 6  3 + 8 (– 2) = 2 = d, или 6  11 + 8  (– 8) = 2 = d и т.д.

2) Обобщение теоремы 2.

Если НОД(а₁, а₂ , …, а_п) = d, – то существуют числа с₁, с₂ , …, с_п  Z такие, что а₁ с₁ + а₂ с₂ + … + а_п с_п = d (2а)

2. 6. Свойство нод.

Общий множитель чисел а и b можно вынести за знак их НОД:

НОД (ka; kb) = k  НОД (a; b) , ( k  N) (3)

Пример.

НОД (144; 120) = 12 НОД (12; 10) = 12 2  НОД (6; 5) = 12  2 1 = 24.

2. Взаимно простые числа

2. 7. Определение 3.

Целые числа а₁, а₂ , …, а_п называется взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Пример.

НОД (8; 9; 45) = 1, значит, числа 8, 9, 45 – взаимно простые.

2. 8. Свойства взаимно простых чисел.

1⁰ Для того, чтобы числа а₁, а₂ , …, а_п были взаимно простыми, необходимо и достаточно, чтобы существовали числа с₁, с₂ , …, с_п  Z такие, что а₁ с₁ + а₂ с₂ + … + а_п с_п = 1

2⁰ Если (аb) c и (b; c) = 1, – то a c .

3⁰ Если (a; c) = 1, (b; c) = 1, – то (ab; c) = 1.

4⁰ Если (а; b) = d ( и учитывая, что a d, b d), – то (a : d; b : d) = 1.

3. Наименьшее общее кратное (нок) нескольких целых чисел

2. 9. Определение 4.

Целое число М называется общим кратным данных целых чисел а₁, а₂ , …, а_п, если число М делится без остатка на каждое из этих чисел, то есть: М а₁, М а₂, …, М а_п.

2. 10. Определение 2.

Целое число т > 0 называется наименьшим общим кратным данных целых чисел а₁, а₂ , …, а_п, если:

а) число т делится на каждое из чисел а₁, а₂ , …, а_п (то есть т является их общим кратным);

б) любое другое общее кратное М этих чисел делится на т..

Обозначение: т = НОК (а₁, а₂ , …, а_п) или, короче, т = [а₁, а₂ , …, а_п].

Пример.

Пусть а = 6, b = 8. Тогда M = OK (а; b) = OK (6; 8) =  24;  48;  72;  96; ….

m = [а; b] = HOK(6; 8) = [6; 8] = 24 (выполняются оба условия а) и б) – проверьте!).

2. 11. Теорема 3.

Для любых а₁, а₂ , …, а_п  Z их наименьшее общее кратное

т = НОК (а₁, а₂ , …, а_п) = НОК ( НОК (а₁, а₂ , …, а_{п – 1}), а_п) .

Пример. НОК (6; 8; 10) = НОК ( НОК (6; 8); 10) = НОК (24; 10) = 120.

2. 12. Свойства НОК.

1⁰ Если (а; b) = 1, a; b  N, – то НОК (a; b) = a  b.

2⁰ Общий множитель чисел а и b можно вынести за знак их НОK:

НОК (ka; kb) = k  НОК (a; b) (k  N). (4)

3⁰ Если m = НОК (a; b) ( и учитывая, что m a, m b), – то (m : a; m : b) = 1.