Упражнения для самостоятельной работы

306. Данную конечную цепную дробь преобразуйте в рациональное число вида :

а) А₃ = ; б) А₃ = [2; 2, 1, 5]; в) А₃ = [3; 11, 2, 4]; г) А₄ = [– 2; 1, 2, 1, 2].

307. Данное рациональное число вида преобразуйте в конечную цепную дробь:

а) ; б) ; в) ; г) .

308. Для данной конечной цепной дроби составьте все подходящие дроби:

а) А₃ = [ 4; 2, 1, 3]; б) А₄ = [3; 2, 1, 5, 3]; в) А₆ = [1; 3, 4, 1, 2, 1, 3];

г) А₃ = [0; 3, 3, 2]; д) А₃ = [– 4; 1, 3, 2].

309. Для данной конечной цепной дроби составьте P_{n – 1} и Q_{n – 1} – числитель и знаменатель предпоследней подходящей дроби:

а) А₃ = [ 5; 1, 3, 2]; б) А₄ = [1; 2, 3, 4, 5]; в) А₃ = [– 3; 2, 1, 4]; г) А₃ = [ 0; 4, 3, 2].

310. Для данной дроби найдите предпоследнюю подходящую дробь:

а) = ; б) = ; в) = ; г) = ; д) = .

311. Сократите данную дробь (если это возможно), с помощью подходящих дробей:

а) = ; б) = ; в) = ; г) = ; д) = ; е) = .

§ 17. Решение сравнений вида ах  b (mod m) с помощью конечных цепных дробей основные сведения из теории

17. 1. Алгоритм решения сравнений ах  b (mod m), где (а; т) = 1 (18)

В этом случае сравнение (18) имеет 1 класс решений. Для его нахождения нужно:

1) составить дробь и преобразовать её в конечную цепную дробь: = [a₀; a₁, a₂,…, a_n]

2) найти числитель P_{п – 1} предпоследней подходящей дроби;

3) применить формулу х  ( – 1) ^п  b  Р_{п – 1} (mod m) (19)

(см. ниже, типовые задачи, пример 1 ).

17. 2. Алгоритм решения сравнений ах  b (mod m), где (а; т) =d >1, b d (20)

В этом случае сравнение (20) имеет d классов решений по модулю т. Для их нахождения нужно:

1) сократить a, b и m на число d и получить сравнение (а:d)x  b:d (mod (m:d)) (*)

(чùсла а:d, b:d, m:d – целые!);

2) по алгоритму из пункта 17. 1 решить сравнение (*), имеющее один класс решений по mod (m:d). Получим: x  х₀ (mod (m:d)), или x = х₀ + (m:d)  t, где tZ .

3) полагая число t = 0, 1, 2, … , d – 1, получим d классов решений сравнения (20) по модулю m: x  х₀; х₀ + (m:d) 1; х₀ + (m:d) 2; … ; х₀ + (m:d)  (d – 1) (mod m) (см. ниже, типовые задачи, пример 2 ).

17. 3. Напомним, что сравнение ах  b (mod m), где (а; т) = d > 1, b не d, – не имеет решений.

Типовые задачи

1. С помощью конечных цепных дробей решить сравнение 171 x  3 (mod 916).

Решение. (См. выше – алгоритм решения – в пункте 17. 1 ).

1) Так как (171; 916) = 1 (проверьте!), то сравнение имеет 1 класс решений. Найдём его.

2) Составим дробь = и преобразуем её в цепную дробь: = =[5; 2, 1, 4, 12]

(см. § 16, типовые задачи, пример 2, в) ).

3) Найдём P_{n – 1} – числитель предпоследней подходящей дроби (для проверки вычис-

лений найдём и Pn ):	ak	5 2 1 4 12	Pn – 1 = 75.
	Pk	5 11 16 75 916

4) Воспользуемся формулой (24) (при п = 4, b = 3, P_{n – 1} = 75, т = 916):

х  ( – 1) ⁴  3  75 (mod 916)  х  225 (mod 916).

2. С помощью конечных цепных дробей решить сравнение: 42 x  57 (mod 75).

Решение. (См. выше – алгоритм решения – в пункте 17. 2 ).

1) Так как (42; 75) = d =3 (проверьте!) и 57 3, то сравнение имеет 3 класса решений. Сократив a, b и т на d =3, получим сравнение: 14 x  19 (mod 25). Решим его.

2) Составим дробь = и преобразуем её в цепную дробь: = = [1; 1, 3, 1, 2]

(проверьте! ); п = 4.

3) Найдём P_{n – 1} – числитель предпоследней подходящей дроби (для проверки вычис-

лений найдём и Pn ):	ak	1 1 3 1 2	Pn – 1 = 9.
	Pk	1 2 7 9 25

4) Воспользуемся формулой ( 24 ) (при п = 4, b = 19, P_{n – 1} = 9, т = 25 ):

х  ( – 1) ⁴  19  9 (mod 25)  х  171  – 4 (mod 25), или x = – 4 + 25 t, tZ.

5) При t = 0,1, 2 получим 3 класса решений данного сравнения: х  – 4; 21; 46(mod 75).