Обозначение k-й подходящей дроби: , где Pk – числитель k-й подходящей дроби,
Qk – знаменатель k-й подходящей дроби.
16. 6. Алгоритм вычисления Pk и Qk.
= [
a0]
P0
= а0;
Q0
= 1.
= [a0;
a1]
P1
= а1
P0
+ 1; Q1
= а1.
= [a0;
a1,
а2]
P2
= а2
P1
+ P0;
Q2
= а2
Q1
+ Q0.
= [a0;
a1,
а2
,
… , ak]
Pk
= аk
Pk
– 1
+ Pk
–
2;
Qk
= аk
Qk
– 1
+ Qk
– 2
и так далее.
Пример, демонстрирующий технику нахождения Pk и Qk .
Для данной конечной цепной дроби А3 = [4; 3, 1, 2] составьте все подходящие дроби.
Решение.
P0=a0=4, P1=43+1=13, P2=113+4=17, P3= 217+13=47.
Q0= 1, Q1=a1=3, Q2=13+1= 4, Q3 = 24 + 3 = 11.
Ответ: подходящие дроби А0 = 4/1, А1 =13/3, А2 = 17/4, А3 = 47/11 = а / b.
Типовые задачи
1. Преобразовать конечную цепную дробь А4 = [4; 1, 1, 3, 12] в число вида .
Решение.
А4
=
[4;
1, 1, 3, 12] =
.
2.
Преобразовать
данную дробь вида
в
конечную цепную дробь: а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а) 53 17_ 51 3 17 2 16 8 2 1 2 2 0
|
б) 26 11_ 22 2 11 4 8 2 4 3 3 1 3 1 3 3 0 |
в) 916 171_ 855 5 171 61_ 122 2 61 49 49 1 49 12 48 4 12 1_ 12 12 0 |
Ответ:
а)
= [3;
8,
2];
б)
= [2;
2,
1, 3];
в)
= [5;
2,
1, 4, 12].
3. Для данной конечной цепной дроби составить все подходящие дроби:
а) А3 = [3; 2, 1, 2]; б) А4 = [4; 1, 1, 3, 12].
Решение.
а) k |
0 1 2 3 |
|
б) k |
0 1 2 3 4 |
Ответ:
а)
А0
=
б)
А0
= |
ak |
3 2 1 2 |
ak |
4 1 1 3 12 |
||
Pk Qk |
3 7 10 27 1 2 3 8 |
Pk Qk |
4 5 9 32 393 1 1 2 7 86 |
||
Проверка:
|
Проверка:
|
||||
;
А1
=
;
А2
=
;
А3
=
;
;
А1
=
;
А2
=
;
А3
=
;
А4
=
.
.4. Для данной цепной дроби Ап найти числитель Pп – 1 и знаменатель Qп – 1 предпоследней подходящей дроби: а) А3 = [5; 2, 3, 1]; б) А4 = [2; 1, 1, 2, 4]. Сделать проверку.
Решение.
а) k |
0 1 2 3 |
|
б) k |
0 1 2 3 4 |
Проверка::
а)
А2
= 5 +
б)
А3
= |
ak |
5 2 3 1 |
ak |
2 1 1 2 4 |
||
Pk Qk |
5 11 38 1 2 7 |
Pk Qk |
2 3 5 13 1 1 2 5 |
||
Ответ: P2 = 38, Q2 = 7; |
Ответ: P3 = 13, Q3 = 5. |
||||
;
.
5.
С
помощью подходящих дробей сократите
дроби: а)
;
б)
.
Решение.
Преобразуем данную дробь в цепную дробь и составим п-ю подходящую дробь Ап .
Тогда получившаяся подходящая дробь Ап совпадёт с видом сокращённой заданной дроби.
а) = [0; 1, 6, 1, 2, 2] |
|
б) = [2; 8, 1, 2] |
Ответ:
а)
=
б)
=
|
||
ak |
0 1 6 1 2 2 |
ak |
2 8 1 2 |
||
Pk Qk |
0 1 6 7 20 47 1 1 7 8 23 54 |
Pk Qk |
2 17 19 55 1 8 9 26 |
||
;
.