Упражнения для самостоятельной работы
Установите, совместна ли данная система сравнений; если она совместна, то определите, по какому модулю должны быть получены решения системы, а затем найдите эти решения.
Решите системы сравнений:
257.
258.
259.
260.
Глава 5. Конечные цепные дроби
§ 16. Понятие конечной цепной дроби основные сведения из теории
16. 1. Определение 1.
-
Конечной цепной дробью называется число Ап вида
Ап =
,где а0 Z,
аi N ( i = 1, 2, . . . , n), аn 1,
n – длина цепной дроби.
Обозначение:
Пример
конечной
цепной дроби:
Ап
=
=
[4; 3, 1, 2],
где
n
= 3.
16. 2. Отметим, что: 1) всякая конечная цепная дробь преобразуется в рациональное
число вида .
Например:
А3
= [4;
3, 1, 2] =
.
2) обратно: всякое рациональное число вида может быть представлено в виде конечной цепной дроби, причём единственным образом..
16. 3. Алгоритм преобразования несократимой дроби в конечную цепную дробь.
Пример.
Дробь
=
преобразовать в конечную цепную
дробь.
Решение.
1) Делим числитель 47 на знаменатель 11, остаток r1 = 3; 2) делим знаменатель 11 на 1-й остаток, r1 = 3; 3) делим 1-й остаток r1 = 3 на 2-й остаток, r2 = 2; 4) делим 2-й остаток r2 = 2 на 3-й остаток, r3 = 1; 5) выписываем частные а0 = 4, а1 = 3, а2 = 1, а3 = 2. Ответ: дробь = = [4; 3, 1, 2], где n = 3. |
47 11_ 44 4 = а0 11 3 = r1 9 3 = a1 3 2 = r2 2 1 = a2 2 1 = r3 2 2 = a3 0 |
16. 4. Рассмотрим конечные цепные дроби:
=
А3
= [4; 3,
1, 2] =
=
4
;
А2
= [4; 3,
1] = 4
;
А1
= [4;3] =
4
;
А0
= [4] =
4.
|
Числа последовательности А0, А1, А2, А3,… всё ближе подходят к данному числу Ап = а/b. Причём Аi с чётными номерами – слева от Ап, Aj с нечётными номерами – справа от Ап. |
В общем случае:
|
Последовательность А0, А2, А4,…возрастает, Последовательность А1, А3, А5,… убывает; члены каждой последовательности всё ближе подходят к исходному числу Ап = а/b. |
16. 5. Определение 2. Подходящей дробью k -го порядка данной конечной цепной дроби Ап = а/b называется конечная цепная дробь Аk = [ a0; a1, a2, … , ak] (k n), полученная из данной цепной дроби Аn = [ a0; a1, a2, … , ak, …, an] отбрасыванием последних n – k чисел. |
|
Пусть – несократимая дробь. Если = Аn = [ a0; a1, a2, …, an], то
А0 = [ a0] – подходящая дробь 0-го порядка;
А1 = [ a0; a1] – подходящая дробь 1-го порядка;
А2 = [ a0; a1, a2] – подходящая дробь 2-го порядка;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Аn = [ a0; a1, a2, …, an] – подходящая дробь п-го порядка.