§ 14. Системы линейных сравнений с одной неизвестной основные сведения из теории

14. 1. Определение 1.

Системой линейных сравнений с одной неизвестной называется система вида
	где аi , bi., x Z, тi  N. тi >1, (*) ai не тi (i = 1, 2, ... , s).

14. 2. Определение 2.

Решением системы (*) называется класс вычетов, удовлетворяющий каждому сравнению этой системы.

Если система (*) имеет хотя бы один класс решений, то она называется

совместной (и в противном случае – несовместной).

14. 3. Следствие 1.

Если хотя бы одно из сравнений системы (*) не имеет решений, то и вся система (*) не имеет решений (то есть несовместна).

14. 4. Теорема 1.

Рассмотрим систему (**) – частный случай системы (*):
(**)	Пусть НОД (т1; т2) = (т1; т2) = d, НОК (т1; т2) = [т1; т2] = m.
Тогда: 1) если (b2 – b1) не d, то система (**) не имеет решений; 2) если (b2 – b1) d, то система (**) имеет 1 класс решений по модулю [т1; т2] = m.

14. 5. Следствие 2.

Если (т₁; т₂) = d = 1, – то т = т₁  т₂ и система (**) совместна и имеет один класс решений по модулю т = т₁  т₂ .

Заметим, что теорема 1 может быть обобщена на случай, когда система (**) содер- жит произвольное (конечное) число сравнений вида x  b_j (mod m _j).

В частности, если т₁, т₂ , … , т_s – взаимно простые числа, то система (**) всегда совместна и имеет 1 класс решений по модулю т₁  т₂  …  т_s .

14. 6. Вернёмся к рассмотрению системы сравнений (*) вида a_i x  b_j (mod m _j).

1) Обозначим (a_i ; m_i) = d_i (i = 1, ... , s). Если хотя бы при одном значении i b_i не d_i, то i-е сравнение системы не имеет решений, а, значит, и вся система (*) несовместна.

2) Если же b_i d_i для всех i, то каждое сравнение системы (*) можно решить относительно x и заменить систему (*) равносильной системой (***) :

(***)

Эта система либо несовместна, либо имеет 1 класс решений по модулю [m1: d1, ... , ms : ds] .

14. 7. Линейные сравнения по составному модулю вида ax  b (mod p₁  р₂ ).

Так как (ах – b) (р₁  р₂), то 

Типовые задачи

1. Имеют ли решения системы: 1) 2) ?

Решение.

1) Здесь (т₁; т₂) = (9;6)= d =3, b₂ – b₁= 8–5=3.Так как 3 3, то система совместна.

2) Здесь (т₁; т₂) = (9;6)= d =3, b₂ – b₁= 3–1=2.Так как 2 не 3, то система несовместна.

2. Решить систему:

Решение.

1) Выразим х из первого сравнения и подставим во второе:

   



2) Подставим t в 1-е сравнение: x = 3 + 15(1+ 8q)  x = 18+120q или х  18(mod120).

3. Решить систему: (Здесь т = [7; 9; 15] = 7 9 5 = 315 ).

Решение.

1) Из (1) x = 2 + 7 t, подставим в (2):

     

2) Подставим х из (4) в (3):

  

   х = 23 + 63 (1 + 5q)  x = 86 + 315 q.

Ответ: х  86 (mod 315).

4. Решить систему: (Здесь т = [11; 35; 5] = 1135 = 385 ).

Решение.

Упростим данные сравнения и решим каждое из них (это возможно – проверьте!).

   

    

    

   х = – 9 + 77 (– 1 + 5q)  х = – 86 + 385 q.

Ответ: х  – 86 (mod 385).

5. Решить линейное сравнение по составному модулю: 5х  8 (mod 21).

Решение.

Так как здесь модуль 21 = 73, то сравнение равносильно системе 

   откуда х = 3 + 7(1 + 3q) 

 х = 10 + 21q, или х  10 (mod 21).