13. 6. Теорема 3.

Если сравнение ах  b (mod р) по простому модулю р имеет 2 класса решений, – то оно – тождественное.

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

1. Решить сравнение: 23х  31 (mod 7).

Решение.

Упростим данное сравнение: 23х – 21 х  31 – 28 (mod 7)  2х  3 (mod 7). Так как здесь (2; 7) = 1, то сравнение имеет один класс решений. Найдём его.

1-й способ решения – способ перебора соответствующих классов вычетов.

Составим полную систему наименьших неотрицательных вычетов по модулю 7: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Методом перебора найдём, что сравнению удовлетворяет только вычет 5 (проверьте!). Значит, решением сравнения будет один класс вычетов: х  5 (mod 7).

2-й способ решения – использование теорем равносильности сравнений.

2х  3 (mod 7)  2х  3 + 7 (mod 7)  2х  10 (mod 7)  х  5 (mod 7).

3-й способ решения – использование формулы (17).

Так как (т) = (7) = 6, то  х  332(mod 7)  х  96 (mod 7)

 х  (713 + 5) (mod 7), откуда х  5 (mod 7). Ответ: х  5 (mod 7).

2. Решить сравнение: 2х  3 (mod 8).

Решение.

Так как здесь (2; 8) = d = 2 и 3 не 2, – то сравнение не имеет решений.

Ответ: сравнение не имеет решений.

3. Решить сравнение: 6х  4 (mod 8).

Решение.

Так как здесь (6; 8) = d = 2 и 4 2, то сравнение имеет d = 2 классов решений по модулю 8 или 1 класс решений по модулю т : d = 8 : 2, т.е. по модулю 4.

1) Разделим обе части сравнения и модуль на число 2, получим: 3х  2 (mod 4). Здесь (3; 4) = 1, поэтому сравнение имеет один класс решений по модулю 4:

3х  2 + 4 (mod 4)  3х  6(mod 4). Так как (3; 4) = 1, то обе части сравнения разделим на 3. Тогда х  2 (mod 4) – получили 1 класс решений по модулю 4. Запишем этот класс так: x = 2 + 4q, qZ. Дадим параметру q два значения (так как d = 2): q = 0 и q = 1. При q = 0 x₁  2(mod 8); при q = 1 x₂  6(mod 8) – получили два класса решений по начальному модулю 8.

Ответ: х  2 (mod 4) или x  2; 6 (mod 8).

4. Решить в целых числах неопределённое уравнение 5х – 9у = 7.

Решение.

1) 5х – 7 = 9у  (5х – 7) 9  5х  7(mod 9)  5х  7 + 29  25 (mod 9) 

 х  5(mod 9), откуда х = 5 + 9q, qZ.

2) Подставим это выражение для х в данное уравнение:

  (qZ) –бесконечное множество решений.

Ответ: (5; 2), (14; 7), (23; 17) и так далее.

Упражнения для самостоятельной работы

Определите, имеет ли решение данное сравнение; если решение есть, то установите, сколько классов вычетов (сколько решений) имеет данное сравнение.

173. 3 х  5 (mod 8). 174. 9 х  3 (mod 16). 175. 9 х  15 (mod 27).

176. 15 х  24 (mod 21). 177. 15 х  24 (mod 25). 178. 15 х  10 (mod 25). 179. 25 х  15 (mod 50). 180. 50 х  20 (mod 10). 181. 63 х  42 (mod 210).

182. 100 х  25 (mod 200). 183. 10 х  2 (mod 24). 184. 36 х  24 (mod 25).

Решите сравнения способом перебора соответствующих классов вычетов.

185. 2 х  1 (mod 3). 186. 3 х  5 (mod 4 ). 187. 3 х  2 (mod 6). 188. 2 х  3(mod7 ).

189. 4 х  2 (mod 6). 190. 4 х  1 (mod 5 ). 191. 3 х  0 (mod 9). 192. 6 х 9(mod10).

Решите сравнения, используя теоремы равносильности сравнений.

193. 5 х  8 (mod 12). 194. 7 х  – 3 (mod 17). 195. 8 х  13 (mod 9). 196. 37 х ² + 9 х – 1  0 (mod 37 ). 197. 54 х  3 (mod 37). 198. 27 х  – 21(mod29).

199. 58х³ –29х²+21х  – 5(mod29).200. 35 х  4 (mod 39). 201.32х⁴+23х –41(mod32)

Установите, имеет ли решение данное сравнение, и если имеет, то найдите это решение.

202. 2 х  5 (mod 3). 203. 3 х  4 (mod 5). 204. 5 х  2 (mod 8).

205. 7 х  1 (mod 12). 206. 4 х  – 2 (mod15). 207. 4 х  3 (mod 8).

208. 5 х  8 (mod 7). 209. 17 х  11 (mod 7). 210. 11 х  2 (mod 12).

211. 18 х  9 (mod 8). 212. 18 х  12 (mod 6). 213. 18 х  10 (mod 4).

214. 6 х  9 (mod 3). 215. 6 х  9 (mod 12). 216. 6 х  3 (mod 9).

217. 8 х  20 (mod 12). 218. 12 х  15 (mod 21). 219. 45х  31 (mod 100).

220. 7 х  2 (mod 13). 221. 17 х  50 (mod 9). 222.140х+368–3х(mod15)

223. 72 х  2 (mod 10). 224. 29 х  1 (mod 17). 225. 7 х  15 (mod 9).

226. 12 х  24 (mod 16). 227. 8 х  27 (mod 12). 228. 10 х  15 (mod 35).

229. 17 х  47 (mod 78). 230. 19 х  15 (mod 70). 231. 15 х  13 (mod 64). 232. 94 х  8 (mod 58). 233. 43 х  51 (mod 12). 234. 16 х  8 (mod 20).

Решите неопределённые уравнения первой степени с двумя неизвестными на множестве целых чисел Z с помощью перехода к соответствующим сравнениям:

235. 4 x – 3 y = 2. 236. 17 x + 13 y = 1. 237. 2 x – 4 y = 7. 238. 5 x + 4 y = 3. 239. 6 x – 25 y = 4. 240. 6 x + 9 y = 8. 241. 17 x – 12 y = 27.

242. 15 x – 17 y = – 42. 243. 8 x – 15 y = 18. 244. 13 x – 19 y = 18.