Решение.

1) 74  – 32_ 64 – 2 = q 0 <10 = r < – 32 Проверка: 74 = (–32)(– 2) +10

2) – 74  32___ – 96 – –3 = q 0 < 22 = r < 32 Проверка: – 74 =32(–3) + 22

3) – 74  – 32___ – 96 3 = q 0 < 22 = r <–32 Проверка: – 74 =(– 32)3 + 22

4) 32  – 74___ 0 0 = q 0 < 32 = r <–74 Проверка: 32 = – 74 0 + 32

Упражнения для самостоятельной работы

(Примечание: в задачах этого параграфа a, b Z, n N).

1. а) Может ли при делении целого числа на 12 получиться остаток 14; –14; –3; 3 ?

б) Может ли при делении целого числа на –12 получиться остаток 14; –10; 10; 12 ?

в) Может ли при делении целого числа а на в получиться остаток r = a ? r > a ? r < a ?

2. Выполните деление числа а на число в, если:

а) а = 255, в = 42; б) а = 10, в = 10; в) а = 100, в = 101;

г) а = 10, в = – 4; д) а = 3, в = 10; е) а = – 3, в = 10;

ж) а = – 3, в = – 12; з) а = – 410, в = 47; и) а = – 617, в = 41;

к) а = – 158, в = – 34; л) а = 234, в = – 35; м) а = – 148, в = 26;

н) а = – 841, в = 95; о) а = 357, в = – 16; п) а = – 454, в = – 36.

3. Найдите целые числа, дающие: а) при делении на 3 частное – 2;

б) при делении на – 3 частное – 2; в) при делении на – 4 частное 3.

4. Найдите наибольшее целое число, дающее: а) при делении на 12 частное 15;

б) при делении на – 8 частное – 10; в) при делении на 6 частное – 7.

5. Дано делимое а и частное q. Найдите делитель и остаток.

а) а = 25, q = 3; б) а = – 30, q = – 4; в) а = 371, q = 14. г) а = – 371, q = 14.

6. Дано делимое а и остаток r. Найдите делитель и частное.

а) а = 100, r = 6; б) а = 148, r = 14; в) а = – 60, r = 9.

§ 2. Наибольший общий делитель (нод) целых чисел. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное (нок) основные сведения из теории

1. Наибольший общий делитель (нод) нескольких целых чисел

2. 1. Определение 1.

Целое число  называется общим делителем данных целых чисел а₁, а₂ , …, а_п, если каждое из этих чисел делится на  без остатка, то есть: а₁ , а₂ , …, а_п .

2. 2. Определение 2.

Целое число d > 0 называется наибольшим общим делителем данных целых чисел а₁, а₂ , …, а_п, если:

а) каждое из этих чисел делится на d (то есть d – их общий делитель); б) d делится на любой другой общий делитель  этих чисел.

Обозначение: d = НОД (а₁, а₂ , …, а_п) или, короче, d = (а₁, а₂ , …, а_п).

Пример.

Пусть а = 56, b = 32. Тогда  = ОД(а; b) = ОД(56; 32) = 1;  2;  4;  8.

d = НОД(а; b) = НОД(56; 32) = 8 (выполняются оба условия а) и б) – проверьте!).

2. 3. Теорема 1.

Для любых а₁, а₂ , …, а_п  Z, их наибольший общий делитель

d = НОД (а₁, а₂ , …, а_п) = НОД ( НОД (а₁, а₂ , …, а_{п – 1}), а_п) .

Пример. НОД (56; 32; 20) = НОД ( НОД (56; 32); 20) = НОД (8; 20) = 4.

2. 4. Алгоритм Евклида.

I. ЛЕММЫ

I. Если а b, – то НОД (а; b) = b (а, b  Z, b  0) .

II. НОД (0; b) = b (b  0) .

III. Если a = b  q + r, где , а, b, q, r  Z, – то НОД (а; b) = НОД (b; r).

II. А ЛГОРИТМ ЕВКЛИДА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ НОД