Упражнения для самостоятельной работы

171. С помощью следствий 1 и 2 замените данное сравнение равносильным сравнением, коэффициенты которого по абсолютной величине были бы меньше модуля.

а) 38 х² – 16 х + 19  29 х – 13 (mod 5);

б) 192 х³ – 449 х² + 234 х – 79  220 х³ – 246 х² – 136 (mod 7).

172. Решите сравнения методом перебора соответствующих классов вычетов.

а) 3 х – 1  0 (mod 5); б) 3 х – 1  0 (mod 6); в) 3 х  9 (mod 6); г) х³  3 (mod 6);

д) 70 х⁴ – 14 х³ + 28 х² + 10 х + 5  0(mod 7); е) х² – 2 х + 1  0 (mod 4);

ж) 161 х³ + 82 х² – 48 х – 5  0(mod 4); з) х² – 2 х + 3  0 (mod 4);

и) 27 х⁵ – 13 х³ + 10  0 (mod 5); к) х⁵–х⁴ + х³ – х² + х – 1 0(mod3). л) 3 х⁵ – 7 х⁴ + 9 х³ + 5 х² – 23 х + 3  11 х⁵ + 9 х⁴ + х³ + 3 х² – х + 7(mod 8).

§ 13. Линейные сравнения с одной неизвестной основные сведения из теории

13. 1. Определение 1.

Линейным сравнением с одной неизвестной называется сравнение по модулю m вида ах  b (mod m), где a, b, xZ, mN, m > 1, а не т.

13. 2. Техника решения сравнения а х  b (mod m) .

1-й случай: ах  b (mod m), где d = (a; m) = 1.

Тогда сравнение имеет решение и притом единственное (то есть один класс вычетов по модулю т).

Это решение можно найти:

1) способом перебора вычетов из полной системы вычетов по модулю т;

2) использованием теорем равносильности сравнений с неизвестной;

3) по формуле (17)

/ см. ниже, Типовые задачи, пример 1 /.

2-й случай: ах  b (mod m), где (a; m) = d  1, причём b не d.

Тогда сравнение не имеет решений. / см. ниже, Типовые задачи, пример 2 /

3-й случай: ах  b (mod m), где (a; m) = d  1, причём b d .

Тогда сравнение имеет d классов решений по данному модулю т или 1 класс решений по модулю т : d. / см. ниже, Типовые задачи, пример 3 /

13. 3. Теорема 1.

Всякое сравнение вида ах  b (mod m) равносильно некоторому неопределённому уравнению 1-й степени с двумя неизвестными и целыми коэффициентами вида nx + ky = t ( при некотором условии верно и обратное утверждение).

В самом деле:

1) Дано сравнение ах  b (mod m)  (ах – b) m  ах – b = mу (уZ)  ах – mу = b – уравнение 1-й степени.

2) Дано уравнение ах + bу = с, (где а,bZ и (а; b) = 1)  ах – с = – bу  (ах – с) b  ах  с (mod b) – линейное сравнение.

13. 4. Определение 2.

Тождественным сравнением называется сравнение, которое истинно при любых (целых) значениях неизвестной.

Например: рассмотрим сравнение 6х  9 (mod 3). При любом х₀ = с  Z имеем: (6с – 9) 3  по лемме 6с  9 (mod 3) – "И", то есть произвольное число с удовлетворяет данному сравнению, а значит, это сравнение – тождественное.

13. 5. Теорема 2.

Если в сравнении ах  b (mod m) коэффициенты а и b кратны модулю , – то такое сравнение – тождественное.

Например, в сравнении 6х  9 (mod 3) 6 3 и 9 3. По теореме 2 оно – тождественное.