Упражнения для самостоятельной работы

160. Проверьте справедливость теоремы Паскаля для числа n = a₀ + a₁t + a₂ t² + ...+ a_k t^k (t - основание системы счисления, a_i - цифры числа n в этой системе) и модуля m, если: а) n = 1999, m = 7; б) n = 758, m = 5; в) n = 2546, m = 6; г) n = 2546, m = 12.

161. Выведите признак делимости в десятичной системе счисления:

а) на 3; б) на 9; в) на 4; г) на 11; д) на 7; е) на 27; ж) на 101.

162. С помощью соответствующих признаков делимости, полученных в предыдущей задаче, установите, делится ли данное число n на число m (все числа даны в десятичной системе):

а) 5378 на 3; б) 236 484 на 9; в) 15 928 на 4; г) 37 585 на 11; д) 4 859 371 на 11; е) 37 394 на 7; ж) 61 153 701 на 7; з) 37 272 698 на 7;

и) 144 343 на 27; к) 28 657 341 на 27; л) 4 572 573 на 101; м) 32943577 на101.

163. Выведите признак делимости на 4 в 8-ричной системе счисления.

164. Выведите признак делимости на 3 в 5-ричной системе счисления.

165. Выведите признак делимости на 8 в 14-ричной системе счисления.

166. С помощью соответствующих признаков делимости, полученных в предыдущих задачах 163 - 165, установите, делится ли данное число n на число m (оба числа записаны в t-ичной системе). Сделайте проверку непосредственным делением.

а) n = (1 7 5 4) ₈ на m = (4) ₈ ; б) n = (4 1 3 0 2 3 1) ₅ на m = (3) ₅ ; в) n = (3 7 1 4 )₁₄ на m = (8) ₁₄ .

Глава 4. Сравнения с одной неизвестной по данному модулю

§ 12. Основные понятия. Равносильность сравнений

Основные сведения из теории

12. 1. Определение 1.

Сравнением с одной неизвестной называется сравнение по модулю m вида

f(x)  g(x) (mod m) (1), где f(x) и g(x) – многочлены с целыми коэффициентами (целочисленные многочлены), xZ, mN, m > 1.

В частности, F(x)  0 (mod m) – также сравнение с одной неизвестной. Например,

x² + 2x  x – 1(mod 3), 2x³ – 1  0 (mod 5) и т. д.

12. 2. Определение 2.

Говорят, что целое число "с" удовлетворяет сравнению (1), если при подстановке числа с вместо х образуется истинное числовое сравнение:

f(с)  g(с) (mod m) – "И" (т.е. истинно).

Например, дано сравнение x² + 2x  x – 1(mod 3).

при х = 1: 1² + 2 1 1 – 1(mod 3), или 3  0(mod 3) – "И"х = 1 удовлетворяет (1);

при х=1+3=4: 4² + 244 – 1(mod 3), или 243(mod 3) – "И"х = 4 удовлетворяет (1).

12. 3. Теорема 1.

Если число "с" удовлетворяет сравнению (1) и с₁  с (mod m), – то число с₁ также удовлетворяет сравнению (1).

Вывод: если число "с" удовлетворяет сравнению (1), – то класс чисел (вычетов) по модулю m также удовлетворяет сравнению (1):

= { mq + c / f(mq + с)  g(mq + с) (mod m), qZ, – "И" }.

12. 4. Определение 3.

Решением сравнения с одной неизвестной по модулю т называется множество всех классов вычетов по модулю т, удовлетворяющих этому сравнению.

Пример. Решить сравнение 4x  2 (mod 6).

Решение.

Существуют 6 классов вычетов по модулю 6: Z₆ = { }. Составим полную

систему вычетов по модулю 6, например, {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Среди них данному сравнению удовлетворяют вычеты 2 и 5 (проверьте!). Значит, решением сравнения будут два класса вычетов: x₁  2(mod6), или x₁ = 2 + 6q, qZ и x₂  5(mod6), или x₂ = 5 + 6q₁, q₁Z.

Ответ: x₁  2(mod 6), x₂  5(mod 6).