Упражнения для самостоятельной работы

156. Данные обыкновенные дроби, записанные в десятичной системе, преобразуйте в десятичные дроби . Если десятичная дробь - периодическая, то предварительно найдите число k - длину периода и число l - длину предпериода.

157. Данные обыкновенные дроби, записанные в десятичной системе, преобразуйте в t-ичные систематические дроби. Найдите числа k - длину периода и l - длину предпериода.

158*. В какой системе счисления число (4 6) ₁₀ записывается теми же цифрами, но в

обратном порядке ?

159*. Что больше: единица 8-го разряда в двоичной системе или единица 4-го разряда в 8-ричной системе ?

§ 10. Теорема паскаля. Признаки делимости основные сведения из теории

10. 1. Теорема Паскаля (1623 – 1662).

Даны натуральные числа: т > 1 и n, записанное в t - ичной системе:

, где a_i – – цифры: a_i N, 0  a_i  t –1 (i = 0,1, 2,…, k ), tN, t > 1.

Пусть

Итак: из равенства (*) в теореме Паскаля следует, что число n и число сравнимы по модулю т (а значит – равноостаточны при делении на т). Отсюда, в частности, вытекает, что если делится на т без остатка, то и n делится на т без остатка. Поэтому имеет место следствие:

10. 2. Следствие.

Для того, чтобы число n делилось без остатка на число т, необходимо и достаточно, чтобы сумма делилась без остатка на т:

(16)

Типовые задачи

1. Установите в десятичной системе счисления признаки делимости на 3, на 9 и на 11.

1) Признаки делимости на 3 и на 9.

Пусть n = (a_k a_{k – 1} … a₁ a₀)₁₀ = a_k 10^k +a_{k – 1}10^{k – 1}+…+a₁10 + a₀, m =3 и m = 9.

1) Найдём b_i : по модулю m = 3 по модулю m = 9

10⁰  1 (mod 3), т.е. b₀ =1, 10⁰  1 (mod 9), т.е. b₀ =1,

10¹  1 (mod 3), т.е. b₁ =1, 10¹  1 (mod 9), т.е. b₁ =1,

10²  1 (mod 3), т.е. b₂ =1, 10²  1 (mod 9), т.е. b₂ =1,

 

10^k  1 (mod 3), т.е. b_k =1, 10^k  1 (mod 9), т.е. b_k =1,

 

2) Составим сумму . В обоих случаях сумма = = (сумме

цифр числа n).

3) Из (16) следует : число n делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа n делится на 3.

Аналогично: n 9  (сумма цифр числа n ) 9.

2) Признак делимости на 11.

1) Найдём b_i по модулю m = 11: 10⁰  1 (mod 11), т.е. b₀ = 1,

10¹  – 1 (mod 11), т.е. b₁ = – 1.

10²  1 (mod 11), т.е. b₂ = 1, 10³  – 1 (mod 11), т.е. b_п = – 1,



2) Составим сумму = a₀ 1 + a₁  ( – 1) + a₂ 1 + a₃  ( – 1) + … =

= (a₀ + a₂ + a₄ + …) – (a₁ + a₃ + a₅ + …) = (k = 0, 1, 2, 3, …). 3) Из (16) следует: n 11  ( ) 11, то есть число n делится на 11

тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр числа n , стоящих на чётных местах, и суммой цифр числа n, стоящих на нечётных местах, делится на 11.

Пример. n = 57 926. = (2 + 7) – (6 + 9 + 5) = 9 – 20 = – 11. Так как – 11 делится на 11, то и число n = 57 926 делится на 11.