9. 2. Выводы.

a	↗	к о н е ч н а я д е с я т и ч н а я д р о б ь				рацион. число иррацион. число
	↘	бесконечная десятичная дробь		1) чисто периодическая дробь 2) смешанная периодич. дробь 3) непериодическая дробь

9. 3. Отметим, что:

рациональным числом является всякая конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая десятичная дробь;

иррациональным числом является всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Типовые задачи

1. Данные обыкновенные дроби, записанные в десятичной системе, преобразовать в

десятичные, предварительно определив вид искомой дроби (конечная или бесконечная; периодическая или непериодическая; если – периодическая, то чисто периодическая или смешанная периодическая); в последних случаях – предварительно найти число k – длину периода и число l – длину предпериода. 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) У дроби = знаменатель – число b = 80 = 2⁴  5 содержит только "2" и "5". Поэтому данная дробь преобразуется в конечную десятичную дробь. Количество десятичных знаков l _наим определяется из условия: 10 ^l  0 (mod 80):

Имеем:10 1  10 (mod 80), 10 2 = 100  20 (mod 80), 10 3  200  40 (mod 80), 10 4  400  0 (mod 80).

Следовательно, l наим = 4, то есть искомая десятичная дробь будет иметь 4 десятичных знака. Проверка: разделим "уголком" 3 на 80 и получим: = 0, 0375.

2) У дроби = знаменатель – число b = 27 = 3³ не содержит "2" и "5". Поэтому данная дробь преобразуется в бесконечную чисто периодическую десятичную дробь. Длина периода k _наим определяется из условия: 10 ^k  1 (mod 27):

Имеем: 10 1  10 (mod 27), 10 2 100–8119 (mod 27), 10 3  190  190 – 727   190 – 189  1 (mod 27).

Следовательно, k наим = 3, то есть в искомой десятичной дроби будет период длиной k = 3. Проверка: разделим "уголком" 2 на 27 и получим: = 0, (074).

3) У дроби = знаменатель – число b = 24 = 2³ 3, то есть имеет вид: b = b'  b₁ (кроме "2" или "5" содержит и иные множители, в данном случае число 3). Поэтому данная дробь преобразуется в бесконечную смешанную периодическую десятичную дробь. Длина периода k _наим определяется из условия: 10 ^k  1 (mod 3), откуда k _наим = 1, то есть длина периода k = 1. Длина предпериода l _наим определяется из условия: 10 ^l  0 (mod 8), откуда l _наим = 3, то есть длина предпериода l = 3.

Проверка: разделим "уголком" 5 на 24 и получим: = 0, 208 (3).

Ответ: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).