2. Систематические дроби

8. 8. Определение 3.

Конечной t-ичной систематической дробью в системе счисления с основанием t называется число вида

где c₀Z , с_i – цифры – целые неотрицательные числа, причём 0  с_i  t – 1, t  N, t > 1, k  N .

Обозначение:  = (c₀ , с₁с₂…с_k )_t. При t = 10 дробь называется десятичной.

8. 9. Следствие 1.

Всякая конечная систематическая дробь есть рациональное число, которое можно представить в виде , где а  Z, b  N.

Пример.  = (3 1, 2 4)₆ = 36 + 1 + =19 + – рациональное число. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например, дробь нельзя преобразовать в конечную систематическую (десятичную) дробь.

8.10. Определение 4.

Бесконечной t-ичной положительной систематической дробью в системе счисления с основанием t называется число вида

, где с₀  N, с_i (i =1, 2, …, к , …) – цифры – целые неотрицательные числа, причём 0  с_i  t –1, tN, t >1, kN.

Обозначение:  = (с₀ , с₁ с₂ … с_k …) _t. При t =10 дробь называется десятичной.

8.11. Определение 5.

Возможны три вида бесконечных систематических дробей:

I  = (с₀ , )_t = = _t , где = = = … В этом случае число  называется бесконечной чисто периодической дробью, (с₁ с₂ … с_k) – периодом, k– количество цифр в периоде – длиной периода.

II  = .

В этом случае число  называется бесконечной смешанной периодической дробью, – предпериодом, ( ) – периодом, k – количество цифр в периоде – длиной периода, l – количество цифр между целой частью и первым периодом – длиной предпериода.

III  = (с₀, с₁ с₂ … с_k … )_t . В этом случае число  называется бесконечной непериодической дробью.

Типовые задачи

1. Число (а)₅ = (2 1 4 3) ₅, заданное в 5–ричной системе, перевести в 7-ричную систему, то есть найти х, если (2 1 4 3) ₅ = (х)₇ .

Решение.

1) Преобразуем данное число (2 1 4 3) ₅ в число (у)₁₀, записанное в десятичной системе:

(2 1 4 3) 5 = 253 +152 + 45 +3 = = 2125 +125 + 45 +3 =250 +25 + 20+3 = (2 9 8) 10. 2) Преобразуем полученное число (у)10 в семеричную систему (х)7 (см. справа): Ответ: (2 1 4 3) 5 = (6 0 4) 7.	298 28 18 14 4 = r1	7
		42 42		7
				6		7
		0 = r2		0 0 6 = r3

2. Выполните действия:

1) (7) ₈ + (5) ₈; 2) (7) ₈  (5) ₈; 3) (3 6 4 2) ₆ + (4 3 5 1) ₆;

4) (5 2 3 4) ₇ – (2 3 5 1) ₇; 5) (4 2 3 ) ₅  (3 2) ₅; 6) (3 0 1 4 1) ₅ : (4 2 3) ₅.

Решение.

1) (7) ₈ + (5) ₈ = (7) ₁₀ + (5) ₁₀ = (12) ₁₀ = 18 + 4 = (1 4) ₈ ;

_{2) (7) 8  (5) 8 = (7) 10  (5) 10 = (35) 10 = 48 + 3 = (4 3) 8 ;}

3) (3 6 4 2)6 + (4 3 5 1)6 (1 2 4 3 3)6	Примечание:	4+5 = 9 = 16+3, 3 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 6+3+1=10 =16+4, 4 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 3+4+1= 8 = 16+2, 2 пишем, 1 переходит в следующий разряд.
4) (5 2 3 4)7 – (2 3 5 1)7 (2 5 5 3)7	Примечание:	"занимаем" единицу высшего разряда, т. е. "1" = 17: (3 + 17 ) – 5 = 10 – 5 = 5, (1 + 17 ) – 3 = 8 – 3 = 5,
5) (4 2 3)5  ( 3 2)5 (1 4 0 1)5 +(2 3 2 4)5__ (3 0 1 4 1)5	Примечание:	При умножении на 2 : 3 2 = 6 = 15 + 1, 1 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 2 2 +1=5 = 15 +0, 0 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 2 4 +1=9 = 15 +4, 4 пишем, 1 переходит в следующий разряд, При умножении на 3 : 3 3 = 9 = 15 + 4, 4 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 3 2 +1=7 = 15 +2, 2 пишем, 1 переходит в следующий разряд, 3 4 +1=13=25 +3, 3 пишем, 2 переходит в следующий разряд.

6) (3 0 1 4 1)₅  (4 2 3)₅

2 3 2 4 (3 2)₅

1 4 0 1

1 4 0 1 Ответ: 1) (1 4)₈; 2) (4 3)₈; 3) (1 2 4 3 3)₆; 4) (2 5 5 3)₇;

(0)₅ 5) (3 0 1 4 1)₅; 6) (3 2)₅ .