Упражнения для самостоятельной работы

141. По теореме Эйлера . При а = 3, т = 6 имеем: .

Так как (6) = 2, то 3 ² 1(mod 6), или 9 1(mod 6), Тогда, по лемме, (9 – 1) 6 или 8 6 (нацело!?). Где ошибка?

142. Докажите, что: а) 23 ¹⁰⁰ 1(mod 101); б) 81 ⁴⁰  1(mod100); в) 2 ⁷³  2 (mod 73).

143. Докажите, что а) 1¹⁶ + 3¹⁶ + 7¹⁶ + 9¹⁶  4 (mod 10);

б) 5 ^{4п + 1} + 7 ^{4п + 1} делится без остатка на 12..

144. Докажите теорему, обратную теореме Эйлера: если а ^{ (m)}  1(mod m), то (а, m) =1.

145. Найдите наименьший показатель степени kN, удовлетворяющий данному сравнению: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

и) ; к) ; л) ; м) .

146. Найдите остаток от деления:

а) 7¹⁰⁰ на 11; б) 9⁹⁰⁰ на 5; в) 5¹⁷⁶ на 7; г) 2¹⁹⁹⁹ на 5; д) 8³⁷⁷ на 5;

е) 26 ⁵⁷ на 35; ж) 35 ³⁵⁹ на 22; з) 5⁷¹⁸ на 103; и) 27²⁶⁰ на 40; к) 25¹⁹⁹⁸ на 62.

147*. Докажите, что а ⁵⁶¹  а (mod 11).

148*. Если каноническое разложение натурального числа п не содержит множителей 2 и 5, то 12-я степень этого числа оканчивается цифрой 1. Докажите.

149*. Докажите, что 2 ⁶⁴  16 (mod 360).

150*. Докажите: если (а, 65) =1 , (b, 65) =1, то a¹² – b¹² делится без остатка на 65.

Глава 3. Арифметические приложения теории числовых сравнений

§ 8. Систематические числа

Основные сведения из теории

1. Целые систематические числа

8. 1. Определение 1.

Системой счисления называется всякий способ записи чисел. Знаки, с помощью которых записывают эти числа, называют цифрами.

8. 2. Определение 2.

Целым неотрицательным систематическим числом, записанным в t -ичной позиционной системе счисления, называется число n вида

, где a_i (i = 0,1, 2,…, k) – целые неотрицательные числа – цифры, причём 0  a_i  t – 1, t – основание системы счисления, tN, t > 1.

Например, запись числа в 7-ричной системе имеет вид: (5603)₇ = 5 7³ + 67² + 07¹ + 3. Здесь a_i – это 5, 6, 0, 3 – цифры; все они удовлетворяют условию: 0  a_i  6. При t = 10 говорят: число n записано в десятичной системе счисления, причём индекс t=10 не пишут.

8. 3. Теорема 1.

Всякое целое неотрицательное число может быть представлено, причём единственным образом, в виде систематического числа по любому основанию t, где t  N, t > 1.

Пример: (1 3 9) ₁₀ = (3 5 1) ₆ = (1 0 2 4) ₅ = …

8. 4. Отметим, что:

1) приписывание к систематическому числу нулей слева не изменяет этого числа:

(3 4)₅ = (0 3 4)₅.

2) приписывание к систематическому числу s нулей справа равносильно умножению этого числа на t ^s: (3 4)₅ = 35¹ + 4; (3 4 0 0)₅ = 35³ + 45² + 05¹ + 0 = 5²(35¹ + 4).

8. 5. Алгоритм перевода числа, записанного в t -ичной системе, в десятичную:

Пример: (287)₁₂ = 212² + 812¹ +712⁰ = 2144 + 812 + 7 = 288 + 96 +7 = (391)₁₀.

8. 6. Алгоритм перевода числа, записанного в десятичной системе, в t -ичную:

Пример: (3 9 1)₁₀ = (х) ₁₂. Найти х.

Находим остатки от деления на основание системы t = 12: 1) данного числа 391 на 12, получим r1 = 7 ; 2) первого частного 32 на 12, получим r2 = 8 ; 3) второго частного 2 на 12, получим r3 = 2 ; Искомое число х составляется из остатков, записываемых последовательно, начиная с последнего: х = (2 8 7)12 .	391 36 31 24	12
		32 24		12
			2			12
		8 = r2 0 0
	7 = r1		2 = r3

8. 7. Действия над систематическими числами

осуществляются с помощью таблиц сложения и умножения размером t  t. Например, при t = 2 таблицы имеют вид:	+	0 1			0 1
	0 1	0 1 1 10		0 1	0 0 0 1