6.11. Теорема 3.

Если {х₁, х₂,…, } – приведённая система вычетов по модулю т и

(а, m) = 1, – то система чисел {ах₁, ах₂ , … , ах_(т)} также образует

приведённую систему вычетов по модулю т .

6.12. Определение 6.

Суммой (  ) классов вычетов и по модулю т называется класс вычетов , то есть класс вычетов, состоящий из чисел а + b, равных сумме любых двух вычетов, взятых по одному из каждого данного класса и :  = , где а  , b  .

6.13. Определение 7.

Произведением (  ) классов вычетов и по модулю т называется класс вычетов , то есть класс вычетов, состоящий из чисел а  b, равных произведению любых двух вычетов, взятых по одному из каждого данного класса и :  = , где а  , b  .

Таким образом, в множестве классов вычетов по модулю т: Z_т = { , , ,…, } определены две алгебраические операции – "сложения" и "умножения".

6.14. Теорема 4.

Множество классов вычетов Z_т по модулю т является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей:

 Z_т , +,   =  { , , ,…, }, +,   – кольцо.

Типовые задачи

1. Составить по модулю т = 9:

1) полную систему наименьших положительных вычетов;

2) полную систему наименьших неотрицательных вычетов;

3) произвольную полную систему вычетов;

4) полную систему наименьших по абсолютной величине вычетов.

Ответ: 1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};

3) например, {10, – 7, 21, 49, – 4, 15, 25, – 1, 0}; 4) {– 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4}.

2. Составить приведённую систему вычетов по модулю т = 12.

Решение.

1) Составим полную систему наименьших положительных вычетов по модулю т = 12:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} (всего т = 12 чисел).

2) Вычеркнем из этой системы числа, не взаимно простые с числом 12:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

3) Оставшиеся числа, взаимно простые с числом 12, образуют искомую приведённую систему вычетов по модулю т = 12 (всего (т) = (12) = 4 числа).

Ответ: {1, 5, 7, 11} – приведённая система вычетов по модулю т = 12.

Упражнения для самостоятельной работы

130. Составьте 1) полную систему наименьших положительных вычетов; 2) полную систему наименьших неотрицательных вычетов; 3) произвольную систему вычетов; 4) полную систему наименьших по абсолютной величине вычетов; 5) приведённую систему вычетов: а) по модулю m = 6; б) по модулю m = 8.

131. Является ли множество {9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85} полной системой вычетов по модулю 8 ?

132 По какому модулю множество{20, – 4, 22, 18, – 1}является полной системой вычетов?

133. Составьте приведённую систему вычетов по модулю m , если а) m = 9; б) m = 24; в) m = 7. Сколько чисел должна содержать такая система ?

134. Сформулируйте основные свойства полной системы вычетов и приведённой системы вычетов по модулю m .

135. Какими элементами отличаются приведённая и полная системы наименьших неотрицательных вычетов по простому модулю ?

136. При каком условии числа а и – а принадлежат одному классу вычетов по модулю m ?

137. Каким классам вычетов по модулю 8 принадлежат все простые числа р  3 ?

138. Образует ли множество чисел {0, 2⁰, 2¹, 2², ... , 2⁹ } полную систему вычетов по модулю 11 ?

139. Скольким классам вычетов по модулю 21 принадлежат все вычеты из одного класса вычетов по модулю 7 ?

140. Множество целых чисел Z распределите по классам вычетов по модулю 5. Составьте таблицы сложения и умножения в образовавшемся множестве классов вычетов Z₅. Является ли множество Z₅: а) группой с операцией сложения классов ? б) группой с операцией умножения классов ?