5-я лекция, 2017, осень
5.Гидродинамика-1 кинематика и динамика идеальной жидкости
1. Основные понятия кинематики жидкости
2. Расход. Уравнение расхода
3 Уравнение неразрывности .
4. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.
5. Первая форма уравнения Бернулли
6. Вторая форма уравнения Бернулли.
7. Третья форма уравнения Бернулли.
8. Вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера)
и их интегрирование для простейшего случая. Вид системы уравнений Эйлера.
5.1. Основные понятия кинематики жидкости
Отдельные частицы твердого тела жестко связаны между собой, в жидкой среде такие связи отсутствуют. Жидкость состоит из множества частиц, перемещающихся одна относительно другой и, кроме того, частицы дополнительно движутся совместно.
Идеальная жидкость в гидродинамике - модель жидкости, в которой отсутству- ет вязкость, в ней нет внутреннего трения, нет касательных напряжений между соседними слоями.
Модель идеальной жидкости используется при решении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. Такое допущение позволяет найти решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй и обтекании тел.
В идеальной жидкости, как в неподвижной реальной жидкости, возможны только нормальные напряжения сжатия, т. е. гидромеханическое давление.
Задачей кинематики жидкости является определение скорости в любой точке жидкой среды, т. е. нахождение поля скоростей.
Установившимся называется течение жидкости, при котором давление и скорость являются функциями координат и не зависят от времени.
р=f (х, у,z ); v=f (х, у, z ).
Если установившееся течение равномерно, скорость каждой частицы зависит от ее координат, а траектория остается неизменной вдоль потока.
Примером установившегося течения может служить истечение жидкости из сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень или движение жидкости в трубопроводе, создаваемое центробежным насосом с постоянной частотой вращения вала.
Неустановившимся называется течение жидкости, при котором давление и скорость являются функциями координат и времени.
p = f (x, y, z, t); v = f(x, y, z, t).
Примерами неустановившегося течения жидкости могут служить истечение жидкости из сосуда через отверстие в дне при переменном напоре или движение в напорной линии поршневого насоса, поршень которого совершает возвратно-поступательное движение.
При неустановившемся течении траектории различных частиц, проходящих через данную точку пространства, могут иметь разную форму.
Потоком жидкости называется движущаяся масса жидкости, ограниченная твердыми поверхностями, поверхностями раздела жидкостей или свободными поверхностями. Потоки делятся на напорные, безнапорные, и гидравлические струи.
Напорные потоки ограничены твердыми поверхностями, например, поток в трубе, все сечение которого заполнено жидкостью, стенки испытывают давление со стороны потока, отличающееся от давления окружающей среды. Труба работает полным сечением под напором.
Безнапорные потоки ограничены частично твердой свободной поверхностью. Поток в траншее или трубе, работающей неполным сечением.
Гидравлические струи ограничены только газообразной или жидкой средой.
Для изучения течения жидкости вводится понятие линии и струйки тока.
Рис.5.1 Линия тока(а) и струйка тока(б)
Линией тока называется траектория движения частицы жидкости, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к этой траектории (рис.5.1).
При установившемся течении линия тока совпадает с траекторией частицы и не изменяет своей формы с течением времени.
Трубкой тока называется бесконечно малый замкнутый контур, выделенный в данный момент времени в движущейся жидкости, через все точки которого проведены линии тока. Это условная трубчатая поверхность.
Элементарной струйкой называется часть потока, заключенная внутри трубки тока (рис.5.1).
В любой точке «трубки тока» т.е. на трубчатой поверхности струйки, векторы скорости направлены по касательной, а нормальные к этой поверхности составляющие скорости отсутствуют.
При установившемся движении ни одна частица жидкости, ни в одной точке трубки тока не может проникнуть внутрь струйки или выйти наружу.
Трубка тока является как бы непроницаемой стенкой, а элементарная струйка представляет собой самостоятельный элементарный поток.
В модели идеальной жидкости потоки конечных размеров рассматривают, как совокупность элементарных струек. Соседние струйки из-за различия скоростей скользят одна по другой, но не перемешиваются.
Площадь сечения, проведенного нормально к линиям тока, называется живым сечением струйки δS.
Площадь сечения, проведенная нормально к оси потока, называется живым сечением потока S.
Линия соприкосновения жидкости в живом сечении с поверхностями, ограничивающими поток, называется смоченным периметром. В напорных потоках длина смоченного периметра χ равна длине всего периметра сечения. В безнапорных потоках смоченный периметр составляет часть полного периметра.
Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения к смоченному периметру в этом сечении
где ω – живое сечение, χ – смоченный периметр.
Рис.5.2 Определение гидравлического радиуса. а) полное и неполное заполнение трубы; б) течение в трубе прямоугольного сечения; в) течение в концентрической щели.
В напорном потоке, заполняющем все (рис.5.2а) круглое сечение, где d, r – геометрический диаметр и радиус
Гидравлический радиус равен Rг = 0,5r половине геометрического радиуса.
Гидравлический диаметр равен двум гидравлическим радиусам.
При неполном заполнении круглой трубы (рис.5.2б), например, на высоту радиуса
В безнапорном прямоугольном потоке при полном заполнении сечения(рис.5.2в), ширина b, высота сечения – h
При неполном заполнении потока (рис.5.2г)
При размещении потока между двумя концентрическими поверхностями
