§ 5.2. Линейный и квадратичный электрооптические эффекты

Если изменение поляризационных констант пропорционально первой степени электрического поля, то кристалл обладает линейным электрооптическим эффектом или эффектом Поккельса (1894 г.). Линейный электрооптический эффект характеризуют уравнения типа

, (5.18)

, (5.19)

где a_ij - изменение поляризационной константы; r_ijк, m_ijк - коэффициенты линейного электрооптического эффекта, индексы i, j, k принимают значения 1, 2, 3; по дважды повторяющимся индексам производится суммирование. Коэффициенты электрооптического эффекта являются тензорами третьего ранга, целиком совпадающими (по форме матрицы) с тензорами пьезоэлектрических коэффициентов. При использовании матричной формы записи тензора r_ijк с двумя индексами вместо трех уравнение (5.18) выглядит как таблица (см. табл. 5.1). Линейный ЭОЭ возможен только в тех кристаллах, симметрия которых допускает наличие пьезоэлектрических свойств.

Таблица 5.1.

Поляризационные константы	Е1	Е2	Е3
а1-	r11	r12	r13
а2 -	r21	r22	r23
а3 -	r31	r32	r33
а4	r41	r42	r43
а5	r51	r52	r53
а6	r61	r62	r63

Как видно из уравнения (5.14), наряду с линейным электрооптическим эффектом, свойственным только пьезоэлектрическим кристаллам, все кристаллы диэлектриков обладают квадратичным электрооптическим эффектом. Этот эффект состоит в пропорциональных квадрату напряженности электрического поля Е² или поляризации Р² изменениях поляризационных констант кристаллов. Квадратичный электрооптический эффект описывается уравнениями вида

, (5.20)

, (5.21)

где L_ijкl и M_ijкl - коэффициенты квадратичного электрооптического эффекта, являющиеся тензорами четвертого ранга, индексы i, j, k, l принимают значения 1, 2, 3, по дважды повторяющимся индексам производится суммирование.

Используя принятые обозначения для величин a_ij при переходе к одному индексу и обозначения вида

получим матричную запись уравнения (5.20) в виде таблицы (табл. 5.2).

Таблица 5.2

а
а1	L11	L12	L 13	L 14	L 15	L 16
а2	L21	L22	L 23	L 24	L 25	L 26
а3	L31	L 32	L33	L34	L35	L36
а4	L41	L42	L43	L44	L45	L46
а5	L51	L52	L53	L54	L55	L56
а6	L61	L62	L63	L64	L65	L66

Аналогично может быть записано и уравнение (5.21). Матрицы коэффициентов L_pq и M_pq оказываются целиком совпадающими с матрицами коэффициентов электрострикции G и Н. Необходимо помнить, что эффект пропорционален квадрату напряженности поля, и не меняется при замене направления электрического поля на обратное.

Квадратичный электрооптическтий эффект имеет место и на кристаллах, проявляющих линейный электрооптический эффект. В большинстве случаев он обуславливает лишь малые добавки к основному, линейному эффекту.

Рассмотренные ранее соотношения являются феноменологическими и не отвечают на вопрос о природе изменений . Ответ на этот вопрос в первом приближении содержится в модельных теориях рассматриваемых эффектов.

Основная модель электрооптического эффекта - модель ангармонического осциллятора, в которой движение электрона описывается уравнением

. (5.22)

Здесь Z - координата, Г - постоянная затухания, - угловая резонансная частота, лежащая в ультрафиолетовой области спектра, v - коэффициент ангармоничности, e и m заряд и масса электрона,  - параметр, определяющий локальное поле ( ), -низкочастотная диэлектрическая проницаемость, и Е(0) напряженности электрических полей световой волны и низкочастотного электрического поля.

Поле Е (0) смещает резонансную частоту до значения , так что

. (5.23)

Поскольку n изменяется прямопропорционально , то коэффициент линейного ЭОЭ

, (5.24)

где N₀ - число электронов, а коэффициент ангармоничности v оценивается из правила Миллера с константой . Получаемые значения электрооптических коэффициентов близки к экспериментальным. Фактор хорошо описывает дисперсию двупреломления во многих сегнетоэлектриках. Основой для привлечения модели ангармонического осциллятора послужило наличие сильной дисперсии ЭОЭ на краю фундаментального поглощения (сдвиги, происходящие под действием электрического поля в полосе поглощения) и учет влияния электрического поля на оптические электроны.

Дидоменико и Уэмпл распространили основные положения модели ангармонического осциллятора и на упругооптические эффекты. Основываясь на результатах многочисленных теоретических и экспериментальных исследований по электроотражению, электропоглощению и сдвигу края собственного поглощения, они полагают, что ЭОЭ связан со сдвигом энергетических уровней за счет поляризации, индуцируемой электрическим полем. Наиболее информативна модель Келли, использующая динамические модели кристаллической решетки Борна -Хуана, Дике - Оверхаузера.

Модель Дике - Оверхаузера предполагает, что каждый ион состоит из ядра, связанного анизотропной квазиупругой константой с оболочкой, образуемой наружными электронами. Поляризуются только отрицательные ионы. Эта модель отвечает трем подрешеткам, состоящим из: а) положительных ионов, б) ядер (остовов) отрицательных ионов, в) оболочек отрицательных ионов.

Метод Келли получил развитие в работах Реза с сотрудниками, выполнивших расчеты в ряде кислородно-октаэдрических сегнетоэлектриков. ЭОЭ в этой модели связывается с квадратичными по смещениям частиц квадрупольными членами в разложении кулоновского потенциала. Параметр нелинейности определяется квадрупольной поправкой к действующему полю и обусловлен конкретным расположением ионов. Сопоставление рассчитанных электрооптических коэффициентов и коэффициентов нелинейной восприимчивости генерации второй гармоники в соединениях АВО₃, группы КДР и др., с экспериментом оказывается удовлетворительным и хорошо отражает изменение характеристик в пределах изоморфного ряда. Однако теория не обходится без привлечения экспериментальных параметров.

Делаются попытки рассмотрения нелинейных электрооптических эффектов на основе зонной схемы кристаллов АВО₃. Предложенная модель также хорошо согласуется с экспериментальными значениями и дисперсией для большинства этих материалов, однако, в расчетах используются величины, найденные из электрооптических измерений.