© К. Поляков, 2009-2016

10 (Базовый уровень, время – 4 мин)

Тема: Кодирование данных, комбинаторика, системы счисления.

Что нужно знать:

• русский алфавит

• принципы работы с числами, записанными в позиционных системах счисления

• если слово состоит из L букв, причем есть n₁ вариантов выбора первой буквы, n₂ вариантов выбора второй буквы и т.д., то число возможных слов вычисляется как произведение

N = n₁ · n₂ · … · n_L

• если слово состоит из L букв, причем каждая буква может быть выбрана n способами, то число возможных слов вычисляется как N = n^L

Пример задания:

Р-07. Вася составляет 3-буквенные слова, в которых есть только буквы В, Е, С, Н , А, причём буква А используется в каждом слове хотя бы 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

Решение (способ 1):

1. буква А может стоять на одном из трёх мест: А**, *А*, **А, где * обозначает любой из пяти символов

2. в каждом случае в остальных двух позициях может быть любая из пяти букв

3. для шаблона А** получаем (перемножая количество вариантов для каждой позиции)

1 · 5 · 5 = 25 слов

4. для шаблона *А* тоже получим 25 слов, но нужно учесть, что все слова, в который первая буква А мы уже подсчитали, поэтому считаем только слова, где на первом место стоит какая-то другая буква (В, Е, С или Н)

5. отсюда находим, что шаблон *А* добавляет 4 · 1 · 5 = 20 новых слов

6. рассматривая шаблон **А, не учитываем уже подсчитанные слова, в которых буква А есть на первом или втором местах, количество новых слов – 4 · 4 · 1 = 16

7. всего получается 25 + 20 + 16 = 61 слово

8. Ответ: 61.

Решение (способ 2):

1. количество слов с буквой А можно вычислить как разность между количеством всех возможных слов и количеством слов, в которых нет буквы А

2. количество всех слов 5 · 5 · 5 = 5³ = 125 (на любой из 3-х позиций может стоять любая из 5 букв)

3. количество слов, в которых нет буквы А равно 4 · 4 · 4 = 4³ = 64 (на любой из 3-х позиций может стоять любая из 4 букв, кроме А)

4. получается 125 – 64 = 61 слово, в котором есть буква А (она или несколько)

5. Ответ: 61.

Ещё пример задания:

Р-06. Вася составляет 5-буквенные слова, в которых есть только буквы С, Л, О, Н, причём буква С используется в каждом слове ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

Решение:

1. буква С может стоять на одном из пяти мест: С****, *С***, **С**, ***С* и ****С, где * обозначает любой из оставшихся трёх символов

2. в каждом случае в остальных четырёх позициях может быть любая из трёх букв Л, О, Н, поэтому при заданном расположении буквы С имеем 3⁴ = 81 вариант

3. всего вариантов 5 · 81 = 405.

4. Ответ: 405.

Ещё пример задания:

Р-05. Сколько существует различных символьных последовательностей длины 5 в четырёхбуквенном алфавите {A, C, G, T}, которые содержат ровно две буквы A?

Решение (вариант 1, перебор):

1. рассмотрим различные варианты слов из 5 букв, которые содержат две буквы А и начинаются с А:

АА*** А*А** А**А* А***А

Здесь звёздочка обозначает любой символ из набора {C, G, T}, то есть один из трёх символов.

2. итак, в каждом шаблоне есть 3 позиции, каждую из которых можно заполнить тремя способами, поэтому общее число комбинаций (для каждого шаблона!) равно 3³ = 27

3. всего 4 шаблона, они дают 4 · 27 = 108 комбинаций

4. теперь рассматриваем шаблоны, где первая по счёту буква А стоит на второй позиции, их всего три:

*АА** *А*А* *А**А

они дают 3 · 27 = 81 комбинацию

5. два шаблона, где первая по счёту буква А стоит на третьей позиции:

**АА* **А*А

они дают 2 · 27 = 54 комбинации

6. и один шаблон, где сочетание АА стоит в конце

***АА

они дают 27 комбинаций