2.1.2. Интенсивность отказов.

Допустим на интервале [0, t] отказ не произошел, и нужно определить вероятность отказа в последующую единицу времени t (рис. 2.2). Тогда вероятность события С запишется следующим образом (приложение А)

, или .

Вероятность отказа в промежутке [t₁, t₂] можно выразить через вероятность безотказной работы

Рисунок 2.2 – Схема к определению вероятности появления события С:

А – событие, в котором на интервале [0, t₁] не произошло отказа;

В – событие, в котором на интервале [t₁, t₂] произошел отказ;

С – событие, в котором на интервале [0, t₁] не произошло отказа, а на интервале [t₁, t₂] произошел отказ;

Тогда вероятность того, что в этом интервале произойдет отказ за единицу времени t = ( ) при условии, что отказа не было до момента времени t₁ , будет иметь вид

.

Приняв [t₁, t₂] как [t₁, t₁+Δt], получим

.

Это соотношение характеризует вероятность отказов за единицу времени на интервале [t₁, t₂] при условии, что до момента времени t₁ отказов не было. Оно получило название интенсивность отказов .

Мгновенное значение интенсивности отказов определяется как предел интенсивности отказов при длине интервала, стремящейся к нулю

Мгновенное значение интенсивности отказов показывает изменение интенсивности отказов на протяжении срока службы некоторой совокупности объектов (механизмов, узлов, деталей).

Интенсивность отказов связана с вероятностью безотказной работы и плотностью вероятности отказов соотношениями

, .

Интенсивность отказов, рассматриваемая на каком-то промежутке времени, называется накопленной интенсивностью отказов и связана с мгновенным значением интенсивности отказов и вероятностью безотказной работы соотношениям.

;

Функция λ(t) может быть определена по результатам испытаний. Предположим, что испытаниям подвергают N элементов. Пусть n(t) — число элементов, не отказавших к моменту t. Тогда при достаточно малом Δt и достаточно большом N получим

λ(t) = Δn/[Δt n(t)],

где Δn — число отказов на участке Δt.

Статистическая интенсивность отказов λ(t) равна отношению числа отказов, происшедших в единицу времени, к общему числу не отказавших элементов к этому моменту времени.

Многочисленные опытные данные показывают, что для многих элементов функция λ(t) имеет корытообразный вид (рис. 2.3).

Рисунок 2.3 – Изменение интенсивности отказов за период службы изделия.

Из анализа графика следует, что время испытания можно условно разбить на три периода. В первом из них функция λ(t) имеет повышенные значения. Это период приработки или период ранних отказов для скрытых дефектов. Для начального периода [0, t₁] характерны отказы вследствие дефектов материалов, конструкторских недоработок, дефектов изготовления. Этот отрезок кривой получил название период “детской смертности”

Второй отрезок кривой [t₁, t₂] называют периодом нормальной работы; он отображает случайные внезапные отказы, вызванные неожиданным увеличением нагрузки, предельно тяжелыми условиями работы и т.д. Для этого периода характерна постоянная интенсивность отказов.

Отрезок кривой после t₂ характеризует старение объекта, что является следствием, как правило, проявлением отказов, вызванных износом.

Иными словами интенсивность отказов характеризует изменения качества изделия в процессе эксплуатации.

Так как период нормальной работы является основным, то в расчетах надежности принимается λ(t)=λ=const. В этом случае при экспоненциальном законе распределения функция надежности имеет вид (см. п. 1.4):

Р(t) = exp(- λ t).

Среднее время жизни соответственно равно: T₀ = 1/λ. Поэтому функцию надежности можно записать и так:

Р(t) = еxp(-t/T₀).

Если время работы элемента мало по сравнению со средним временем жизни, то можно использовать приближенную формулу

Р(t) ≈ 1 – t/T₀.

Пример 2.1. По данным эксплуатации шестеренной клети установлено, что наработка до отказа подчиняется экспоненциальному закону с параметром λ = 2,10^-5 1/час. Найти вероятность безотказной работы за время t = 100 часов. Определить математическое ожидание наработки до отказа.

Решение.

Вероятность безотказной работы

P(t) = exp(- λ·t) = exp(-2,10^-5·100) = 0,998.

Математическое ожидание наработки до отказа

M_Т = 1/λ = 1/(2,10^-5) = 5·10⁴ ч.

Пример 2.2. На испытания поставлено N = 200 элементов, испытания проводились в течение t = 100 ч. Построить кривую интенсивности отказов по данным приведенной таблицы: Δt — интервал испытаний; n — число отказов; (N-n) — число не отказавших элементов.

№	Δt	n	N-n	№	Δt	n	N-n
1	0…10	10	190	6	50…60	2	198
2	10…20	8	192	7	60…70	2	198
3	20…30	6	194	8	70…80	4	196
4	30…40	4	196	9	80…90	5	195
5	40…50	2	198	10	90…100	8	192

Решение.

Вычисляем интенсивности отказов на границах интервалов (час^-1):

λ(t₁) = 10/(10·190) = 0,0052; λ(t₂) = 8/(10·182) = 0,0044;

λ(t₃) = 6/(10·176) = 0,0034; λ(t₄) = 4/(10·172) = 0,0023;

λ(t₅) = 2/(10·170) = 0,0011; λ(t₆) = 2/(10·168) = 0,0011;

λ(t₇) = 2/(10·166) = 0,0012; λ(t₈) = 4/(10·162) = 0,0024;

λ(t₉) = 5/(10·157) = 0,0032; λ(t₁₀) = 8/(10·149) = 0,0053.

Рисунок 2.4 – Зависимость интенсивности отказов во времени

Кривая интенсивности отказов приведена на рисунке 2.4.