2. Задание 17 № 311507

2. В окруж­ность впи­сан рав­но­сто­рон­ний восьмиугольник. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ABC.

Решение.

Угол ABC — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на диа­метр AC. Таким образом, ∠ABC = 90°.

 

Ответ: 90.

Ответ: 90

311507

90

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №2(2вар)

3. Задание 17 № 316346

3. Боковая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 4. Угол при вершине, про­ти­во­ле­жа­щий основанию, равен 120°. Най­ди­те диа­метр окружности, опи­сан­ной около этого треугольника.

Решение.

Воспользуемся тео­ре­мой косинусов:

 

 

Здесь и — бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го треугольника, — основание.

Диаметр опи­сан­ной окруж­но­сти вы­чис­лим по формуле:

 

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

316346

8

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.02.2014 ва­ри­ант МА90501.

4. Задание 17 № 316372

4. Боковая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 5. Угол при вершине, про­ти­во­ле­жа­щий основанию, равен 120°. Най­ди­те диа­метр окружности, опи­сан­ной около этого треугольника.

Решение.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, углы при основании равны (180° − 120°)/2 = 30°. По теореме синусов:

 

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

316372

10

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.02.2014 ва­ри­ант МА90502.

5. Задание 17 № 339483

5. Окружность с цен­тром в точке O опи­са­на около рав­но­бед­рен­но­го треугольника ABC, в ко­то­ром AB = BC и ∠ABC = 177°. Най­ди­те величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°. Тре­уголь­ник — равнобедренный, следовательно, Угол — вписанный, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опирается. Угол — центральный, по­это­му он равен ве­ли­чи­не дуги, на ко­то­рую опирается. Углы и опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, следовательно,

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

339483

3

6. Задание 17 № 339828

6. Четырехугольник ABCD впи­сан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ABC — вписанный, опи­ра­ет­ся на дугу ADC, по­это­му величина дуги ADC равна 2 · 70° = 140°. Угол CAD — вписанный, опи­ра­ет­ся на дугу CD, по­это­му величина дуги CD равна 2 · 49° = 98°. Угол ABD — вписанный, опи­ра­ет­ся на дугу AD, по­это­му ∠ABD = ∪AD/2 = (∪ADC − ∪CD)/2 = (140° − 98°)/2 = 21°.

 

Ответ: 21.

Ответ: 21

339828

21

7. Задание 17 № 341707

7. Найдите пло­щадь квадрата, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти ра­ди­у­са 7.

Центральные и вписанные углы

1. Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6. При этом угол OAB равен 60°. Най­ди­те радиус окружности.

Решение.

Рассмотрим тре­уголь­ник AOB: он равнобедренный, его бо­ко­вые стороны равны радиусу.

Углы при ос­но­ва­нии равнобедренного тре­уголь­ни­ка равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у ко­то­ро­го все углы равны, — рав­но­сто­рон­ний треугольник; значит, ра­ди­ус равен 6.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

90

6

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.

2. Задание 17 № 142

2. В окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Най­ди­те величину угла OAB.

Решение.

Вписанные углы ВСD и ВАD опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу окружности, по­это­му они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.

 

Ответ: 30.

Ответ: 30

142

30

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1313.

3. Задание 17 № 311319

3. Найдите гра­дус­ную меру ∠MON, если известно, NP — диаметр, а гра­дус­ная мера ∠MNP равна 18°.

Решение.

Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.

 

Ответ: 144.

Ответ: 144

311319

144

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 1)

4. Задание 17 № 311331

4. Найдите ∠DEF, если гра­дус­ные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Решение.

Дуга FD, не со­дер­жа­щая точку Е, равна 360° − 150° − 68° = 142°, по­это­му ∠DEF = 71°.

 

Ответ: 71.

Ответ: 71

311331

71

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 2)

5. Задание 17 № 311354

5. Найдите гра­дус­ную меру ∠ACB, если известно, что BC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окружности, а гра­дус­ная мера ∠AOC равна 96°.

Решение.

Так как ∠AOC и ∠AOB — смежные, ∠AOB = 84°. Цен­траль­ный угол равен дуге на ко­то­рую он опирается, по­это­му градусная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB — впи­сан­ный и равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опирается, по­это­му ∠ACB = 42°.

 

Ответ: 42.

Ответ: 42

311354

42

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 4)