21. Задание 17 № 339461

21. Окружность с цен­тром на сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через вер­ши­ну C и ка­са­ет­ся пря­мой AB в точке B. Най­ди­те AC, если диа­метр окруж­но­сти равен 7,5, а AB = 2.

Решение.

Пусть О — центр окружности. Ра­ди­ус окружности, проведённый в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен касательной. По­это­му тре­уголь­ник OBA — прямоугольный. Найдём OA по тео­ре­ме Пифагора:

 

 

Следовательно, длина сто­ро­ны равна

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

339461

8

22. Задание 17 № 348454

22. Касательные в точках и к окружности с центром пересекаются под углом 76°. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Введём обо­зна­че­ние как по­ка­за­но на рисунке. Касательные, проведённые к окруж­но­сти из одной точки равны, по­это­му следовательно, тре­уголь­ник — равнобедренный. От­ку­да Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не дуги, ко­то­рую он заключает, значит, дуга равна 104°. Угол AOB — центральный, по­это­му он равен дуге, на ко­то­рую опирается, следовательно, равен 104°. Рас­смот­рим треугольник AOB, он равнобедренный, следовательно,

 

Ответ: 38.

Ответ: 38

348454

38

23. Задание 17 № 348510

23. К окружности с центром в точке проведены касательная и секущая . Найдите радиус окружности, если , .

Решение.

Соединим от­рез­ком точки O и B; по­лу­чен­ный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, по­это­му OB пер­пен­ди­ку­ля­рен AB. За­да­ча сводится к на­хож­де­нию катета OB пря­мо­уголь­но­го треугольника AOB: по тео­ре­ме Пифагора равен 75 см.

 

Ответ: 75.

Ответ: 75

348510

75

24. Задание 17 № 348589

24. На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности.

Решение.

Проведём ра­ди­ус в точку касания. Из пря­мо­уголь­но­го треугольника по тео­ре­ме Пифагора найдём

 

 

Ответ: 63.

Ответ: 63

348589

63

25. Задание 17 № 348602

25. Отрезок касается окружности радиуса 24 с центром в точке . Окружность пересекает отрезок в точке . Найдите .

Решение.

Радиус окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной в точке касания. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём

 

 

Найдём

 

Ответ: 16.

Ответ: 16

348602

16

26. Задание 17 № 348658

26. На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности.

Решение.

Проведём ра­ди­ус в точку касания. Из пря­мо­уголь­но­го треугольника по тео­ре­ме Пифагора найдём

 

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

348658

8

27. Задание 17 № 348735

27. К окружности с центром в точке проведены касательная и секущая . Найдите радиус окружности, если , .

Решение.

Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB: по теореме Пифагора равен см.

 

Ответ: 72.

Ответ: 72

348735

72