11. Задание 16 № 314863

11. Най­ди­те угол АВС рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­ной CD углы, рав­ные 20° и 100° со­от­вет­ствен­но.

Решение.

Углы BCA и CAD равны как на­крест лежащие, то есть

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции углы при ос­но­ва­нии равны:

 

 

Ответ: 120.

Ответ: 120

314863

120

Источник: Банк заданий ФИПИ

12. Задание 16 № 315005

12. Най­ди­те мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем ВС и бо­ко­вой сто­ро­ной CD углы, рав­ные 30° и 105° со­от­вет­ствен­но.

Решение.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции углы при ос­но­ва­ни­ях равны. Угол BCD — тупой, а угол ADC — острый, значит, ∠ADC — мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной трапеции. Углы CAD и BCA равны как на­крест лежащие. Тогда:

 

 

Ответ:

Ответ: 45

315005

45

Источник: Банк заданий ФИПИ

13. Задание 16 № 315099

13. Най­ди­те боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­ной АВ углы, рав­ные 25° и 40° со­от­вет­ствен­но.

Решение.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции углы при ос­но­ва­ни­ях равны. Угол ABC — тупой, а угол BAD — острый, значит, ∠ABC — больший угол рав­но­бед­рен­ной трапеции. Углы CAD и BCA равны как на­крест лежащие. Тогда:

 

 

Ответ: 115°.

Ответ: 115

315099

115

Источник: Банк заданий ФИПИ

14. Задание 16 № 323796

14. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции из­вест­ны вы­со­та, мень­шее ос­но­ва­ние и угол при ос­но­ва­нии. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние.

Решение.

Проведём вто­рую вы­со­ту и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Тре­уголь­ник — прямоугольный, угол углы и равны, следовательно, тре­уголь­ник — равнобедренный, В четырёхугольнике И следовательно, он параллелограмм. Угол значит, — прямоугольник, от­ку­да и По­сколь­ку тра­пе­ция равнобедренная, углы и равны. Тре­уголь­ни­ки и прямоугольные, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции

 

Ответ: 16.

Ответ: 16

323796

16

15. Задание 16 № 323800

15. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 10. Най­ди­те боль­ший из от­рез­ков, на ко­то­рые делит сред­нюю линию этой тра­пе­ции одна из её диа­го­на­лей.

Решение.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. — сред­няя линия, поэтому, от­ку­да по тео­ре­ме Фа­ле­са Рас­смот­рим тре­уголь­ник — сред­няя линия, следовательно,

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

323800

5

16. Задание 16 № 323921

16. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 50 и 104, бо­ко­вая сто­ро­на 45. Най­ди­те длину диа­го­на­ли тра­пе­ции.

Решение.

Проведём вы­со­ты в тра­пе­ции и введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. В четырёхугольнике И следовательно, он параллелограмм. Угол значит, — прямоугольник, от­ку­да и По­сколь­ку тра­пе­ция равнобедренная, углы и равны. Тре­уголь­ни­ки и прямоугольные, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Из тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём вы­со­ту

 

 

Рассмотри тре­уголь­ник он прямоугольный, по тео­ре­ме Пифагора:

 

 

Ответ: 85.

Ответ: 85

323921

85