Минимальный порог по математике в 2017 году равен 8 баллам. Для набора необходимого минимума нужно выполнить из модуля «Математика» не менее пяти заданий, из модуля «Геометрия» не менее трех заданий.

Весь экзамен Отметка по пятибалльной шкале	«2»	«3»	«4»	«5»
Суммарный балл за работу в целом	0 - 7	8 - 14	15 - 21	22 - 32

Геометрия Отметка по пятибалльной шкале	«2»	«3»	«4»	«5»
Суммарный балл по геометрическим заданиям	0 - 2	3 - 4	5 - 7	8 - 12

9 Треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы

Углы

Треугольники общего вида

Прямоугольный треугольник

Равнобедренные треугольники

Параллелограмм

Ромб

Трапеция

Многоугольники

10 Окружность, круг и их элементы

Касательная, хорда, секущая, радиус

Описанная окружность

Центральные и вписанные углы

11 Площадь

Квадрат

Прямоугольник

Треугольники общего вида

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Параллелограмм

Трапеция

12 Фигуры на квадратной решетке

13 Анализ геометрических высказываний

9 Треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы

Углы

Треугольники общего вида

Прямоугольный треугольник

Равнобедренные треугольники

Параллелограмм

Ромб

Трапеция

Многоугольники

Углы

1. Бис­сек­три­сы углов N и M тре­уголь­ни­ка  MNP  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке  A. Най­ди­те   , если   , а  

Решение.

По опре­де­ле­нию бис­сек­три­сы и . В тре­уголь­ни­ке NAM:

 

.

 

 

Ответ: 117.

Ответ: 117

311355

117

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 4)

2. Задание 16 № 311412

2. Углы, от­ме­чен­ные на ри­сун­ке одной дугой, равны. Най­ди­те угол α. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы 1 и 2 равны как вертикальные, по­это­му

 

Ответ: 40.

Ответ: 40

311412

40

Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 1 (1 вар.)

3. Задание 16 № 311476

3. Углы, от­ме­чен­ные на ри­сун­ке одной дугой, равны. Най­ди­те угол   . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы 1 и 2 равны как вертикальные, по­это­му

 

Ответ: 40.

Ответ: 40

311476

40

Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 1(2 вар)

4. Задание 16 № 311514

4. На плос­ко­сти даны че­ты­ре прямые. Известно, что   ,   ,   . Най­ди­те   . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как и , од­но­сто­рон­ние и их сумма равна 180°, прямые, ко­то­рые за­клю­ча­ют эти углы, — параллельны. Най­дем угол, смеж­ный с углом 3: Этот угол и угол 4 со­от­вет­ствен­ные и равны так как пря­мые параллельны.

 

Таким образом, угол 4 = 125°.

 

Ответ: 125.

Ответ: 125

311514

125

Источник: ГИА-2012. Математика. Контрольная работа.(1 вар)

5. Задание 16 № 323537

5. Диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка об­ра­зу­ет угол 51° с одной из его сто­рон. Най­ди­те ост­рый угол между диа­го­на­ля­ми этого пря­мо­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Решение.

Введём обозначения, как по­ка­за­но на рисунке. Пусть диа­го­наль BD об­ра­зу­ет со сто­ро­ной AB угол 51°. Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся пополам, по­это­му тре­уголь­ник ABO — равнобедренный, от­ку­да получаем, что ∠ABO = ∠BAO = 51°. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, от­ку­да ∠ BOA = 180° − 2 · 51° = 78°. Этот угол яв­ля­ет­ся ост­рым углом между диа­го­на­ля­ми прямоугольника.

 

Ответ: 78°.

Ответ: 78

323537

78

6. Задание 16 № 339377

6. Пря­мые m и n параллельны. Най­ди­те ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 72°. Ответ дайте в градусахРешение.

Введём обо­зна­че­ние как по­ка­за­но на рисунке. Углы 1 и 4 соответственные, по­это­му ∠4 = ∠1 =  22°. Углы 2, 3 и 4 — это углы од­но­го треугольника, сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, от­ку­да ∠3 = 180° − 22° − 72° = 86°.

 

Ответ: 86.

Ответ: 86

339377

86

7. Задание 16 № 339515

7. Найдите ве­ли­чи­ну угла DOK, если OK — бис­сек­три­са угла AOD, ∠DOB = 108°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы AOD и DOB — смежные, вме­сте со­ста­ва­ля­ют развёрнутый угол, следовательно, ∠AOD = 180° − ∠DOB = 180° − 108° = 72°. По­сколь­ку OK — бис­сек­три­са угла AOD, ∠AOK = ∠KOD = ∠AOD/2 = 72°/2 = 36°.

 

Ответ: 36.

Ответ: 36

339515

36

8. Задание 16 № 339964

8. Найдите ве­ли­чи­ну угла AOK, если OK — бис­сек­три­са угла AOD, ∠DOB = 64°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы AOD и DOB — смежные, вме­сте со­ста­ва­ля­ют развёрнутый угол, следовательно, ∠AOD = 180° − ∠DOB = 180° − 64° = 116°. По­сколь­ку OK — бис­сек­три­са угла AOD, ∠AOK = ∠DOK = ∠AOD/2 = 116°/2 = 58°.

 

Ответ: 58.

Ответ: 58

339964

58

9. Задание 16 № 340052

9. На пря­мой AB взята точка M. Луч MD — бис­сек­три­са угла CMB. Известно, что ∠DMC = 60°. Най­ди­те угол CMA. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Поскольку MD — биссектриса, ∠DMB = ∠DMC = 60°. Углы ACM, CMD и DMB вме­сте со­став­ля­ют развёрнутый угол, от­ку­да ∠ACM = 180° − ∠DMB − ∠DMC = 180° − 60° − 60° = 60°.

 

Ответ: 60.

Ответ: 60

340052

60

10. Задание 16 № 348610

10. В треугольнике известно, что , - биссектриса. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Поскольку - биссектриса, .

Ответ: 24

Ответ: 24

348610

24

11. Задание 16 № 348774

11. В треугольнике известно, что , - биссектриса. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Поскольку - биссектриса, .

Ответ: 23

Ответ: 23

348774

23

12. Задание 16 № 348885

12. В треугольнике два угла равны 54° и 58°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно,

Ответ: 68

Ответ: 68

348885

68

13. Задание 16 № 349190

13. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол опирается на дугу, градусная мера которой составляет всей окружности, т.е. градусов. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, т.е.

Ответ: 135

Ответ: 135

349190

135

14. Задание 16 № 349261

14. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол опирается на дугу, градусная мера которой составляет всей окружности, т.е. градусов. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, т.е.

Ответ: 45

Ответ: 45

349261

45

15. Задание 16 № 349373

15. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол опирается на дугу, градусная мера которой составляет всей окружности, т.е. градусов. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, т.е.

Ответ: 22,5

Ответ: 22,5

349373

22,5

16. Задание 16 № 349409

16. В треугольнике известно, что , - биссектриса. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Поскольку - биссектриса, то . Таким образом,

Ответ: 31

Ответ: 31

349409

31

17. Задание 16 № 349879

17. В треугольнике известно, что , - биссектриса. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Поскольку - биссектриса, то . Таким образом,

Ответ: 13

Ответ: 13

349879

13

18. Задание 16 № 353217

18. Найдите ве­ли­чи­ну угла AOK, если OK — бис­сек­три­са угла AOD, ∠DOB = 52°. Ответ дайте в градусах.

Треугольники общего вида

1. У тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 16 и 2 про­ве­де­ны вы­со­ты к этим сто­ро­нам. Вы­со­та, про­ведённая к пер­вой сто­ро­не, равна 1. Чему равна вы­со­та, про­ведённая ко вто­рой сто­ро­не?

Решение.

Пусть из­вест­ные сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны и а высоты, проведённые к ним и Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния сто­ро­ны на высоту, проведённую к этой стороне:

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

323079

8