Из третьего уравнения найдем
После этого из второго уравнения определим
6.3. Непрерывно распределенная нагрузка
В механике рассматривают три вида силовых нагрузок:
1) сосредоточенная сила (сила) – силовая нагрузка, приложенная к телу в определенной точке и изображаемая в виде вектора;
2) пара сил – система из двух сил, подробно рассмотренная в главе 4;
3) непрерывно распределенная нагрузка – силовая нагрузка, действие которой распределено вдоль линии, по поверхности или по объему тела.
В данном параграфе рассмотрим последний вид силовых нагрузок. Действие непрерывно распределенной нагрузки на тело характеризуется интенсивностью q, то есть, величиной силы, приходящейся на единицу длины, поверхности или объема.
Рассмотрим далее только простейший вид такой нагрузки – нагрузку из параллельных сил, непрерывно распределенную вдоль отрезка прямой линии. Действие такой нагрузки на тело принято изображать в виде эпюры .
Поясним
построение эпюры. Вдоль отрезка длиной
l,
на котором распределена нагрузка,
выберем ось x
. Вдоль второй оси будем откладывать
интенсивность нагрузки q
. Построим график интенсивности нагрузки
на заданном отрезке
и между графиком и осью x
изобразим стрелки, указывающие направление
сил нагрузки (см. рис. 82).
Рис. 82
Покажем
далее, как такую нагрузку заменить одной
равнодействующей силой. Для этого
отрезок (0,l)
разобьем на элементарные отрезки длиной
dx.
Действующая на каждый такой отрезок
нагрузка может быть приближенно заменена
сосредоточенной силой
(см. рис. 83), величина которой равна
.
Рис. 83
Полученную
таким образом систему сосредоточенных
параллельных сил можно заменить
равнодействующей силой
,
величина которой после перехода к
пределу при
найдется по формуле
(77)
Для нахождения точки приложения силы применим теорему Вариньона, согласно которой момент относительно точки О равнодействующей силы равен сумме моментов относительно точки О элементарных сосредоточенных сил . Из этой теоремы после предельного перехода при получим
Отсюда найдем расстояние от начала координат до точки приложения равнодействующей силы
(78)
С помощью формул (77),(78) можно находить равнодействующую силу для непрерывно распределенной нагрузки с произвольной эпюрой. Рассмотрим применение этих формул на примере двух важных для практики простейших случаев.
Пусть на отрезке длиной l распределена нагрузка с постоянной интенсивностью q (см. рис. 84). Вычисляя в этом случае величину равнодействующей и расстояние h по формулам (77),(78), получим
(79)
Рис. 84
Таким образом, для равномерно распределенной на отрезке (0,l) нагрузки равнодействующая сила приложена в середине этого отрезка, равна по величине ql и направлена параллельно силам нагрузки.
Рассмотрим
теперь нагрузку, у которой интенсивность
на отрезке (0,l)
возрастает по линейному закону от нуля
до максимального значения
(см. рис. 85). В этом случае закон изменения
интенсивности запишется в виде
Рис. 85
Величина равнодействующей найдется по формуле (77)
Для расстояния h из (78) получим
