Раздел 1. Кинематика

Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных объектов с геометрической стороны вне связи с причинами, вызывающими движение.

Глава 1. Кинематика точки

1. Векторный способ задания движения точки

Положение точки можно характеризовать радиусом-вектором r , который начинается в выбранной неподвижной точке О и заканчивается в точке М, движение которой изучается (рис. 1). При векторном способе задания движения точки её радиус-вектор задаётся как функция времени t:

. (1)

Уравнение (1) называют векторным уравнением движения точки. Векторная функция в правой его части должна быть дважды дифференцируема.

Рис. 1

Покажем далее, как, используя уравнение (1), найти кинематические характеристики движения точки. Попутно дадим определения этим характеристикам движения.

Линия, которую описывает точка при своём движении, называется траекторией. Траектория точки в данном случае может быть найдена как годограф радиус-вектора.

Годографом переменного вектора называется геометрическое место концов этого вектора, если его последовательные положения, получающиеся при изменении аргумента, откладывать из одной неподвижной точки.

Средней скоростью точки за промежуток времени Δt называется вектор

Мгновенной скоростью (или просто скоростью) точки в момент времени t называется вектор

(2)

Векторы средней и мгновенной скорости показаны на рис. 2.

Рис. 2

Вектор скорости характеризует быстроту и направление движения точки. Он направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Аналогично определяются векторы среднего и мгновенного ускорения точки:

(3)

Векторы среднего и мгновенного ускорений показаны на рис. 3.

Рис. 3

Вектор ускорения характеризует изменение вектора скорости по величине и по направлению. Он отклонен от касательной к траектории в сторону её вогнутости. При прямолинейном движении точки векторы скорости и ускорения направлены вдоль траектории точки.

2. Задание движения точки в декартовых координатах

При этом способе задания движения задаются декартовы координаты точки как функции времени:

(4)

Уравнения (4) называют кинематическими уравнениями движения точки в декартовых координатах. Функции, стоящие в правых частях этих уравнений, должны быть дважды дифференцируемыми. При движении точки в плоскости достаточно задать два кинематических уравнения движения.

Покажем, как с помощью уравнений (4) можно найти все характеристики движения точки.

Для нахождения траектории нужно из уравнений (4) исключить параметр t. Если точка движется в пространстве, то после исключения t из уравнений (4) получим два уравнения вида

Эти уравнения определяют в пространстве линию, которая будет траекторией точки. Если точка движется в плоскости, то после исключения t из первых двух уравнений (4) получим одно уравнение вида

которое определяет линию в плоскости (x,y).

Для нахождения скорости и ускорения точки выразим её радиус-вектор через декартовы координаты. Если в точке О, из которой откладывается радиус-вектор, выбрать начало декартовой системы координат, то легко получить выражение (рис. 4)

(5)

где – орты координатных осей.

Рис. 4

Продифференцировав равенство (5) по времени, получим

(6)

Обозначая производные по времени точками над дифференцируемой функцией ( ), из последнего выражения получим формулы для проекций скорости на оси координат

(7)

Величина скорости после этого найдется через её проекции

Повторно дифференцируя равенство (6) по времени, получим

Отсюда проекции ускорения на оси координат

(8)

По этим проекциям определяем величину вектора ускорения

Пример 1

Движение точки в плоскости задано уравнениями

Требуется определить траекторию точки, а также для момента времени найти положение точки, скорость и ускорение.

Решение

Для исключения t из кинематических уравнений движения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством Из уравнений движения выразим

После возведения в квадрат этих выражений и почленного сложения полученных равенств найдем уравнение траектории в виде

Это уравнение эллипса. Построим его на рис. 5.

Рис. 5

Положение точки в момент определяется её координатами:

.

Векторы скорости и ускорения точки найдем через их проекции на оси координат по формулам (7) и (8)

;

;

Построим теперь векторы скорости и ускорения в выбранном масштабе на рис. 5, показав их в найденном положении точки на траектории.