4.2. Основные свойства пар сил

Можно доказать, что пара сил, приложенная к твердому телу, обладает следующими свойствами.

1. Пару сил, не изменяя её действия на тело, можно как угодно поворачивать и переносить в плоскости её действия в пределах тела.

2. Пару сил, не изменяя её действия на тело, можно переносить в пределах тела из плоскости её действия в параллельную плоскость.

3. Не изменяя действия пары сил на тело, можно одновременно изменять величину сил пары и её плечо так, чтобы величина её момента оставалась неизменной.

Отсюда следует, что действие пары сил на тело полностью характеризуется её векторным моментом.

Докажем далее две важные теоремы о свойствах пар сил.

Теорема о сложении пар сил

Две пары сил, действующие на твердое тело, можно эквивалентным образом заменить одной парой сил, векторный момент которой равен геометрической сумме векторных моментов исходных пар сил.

Доказательство

Пусть имеется две пары сил , лежащие в пересекающихся плоскостях (см. рис. 72).

Рис. 72

Такие пары сил можно получить из пар сил, как угодно расположенных в пересекающихся плоскостях, путем параллельного переноса, поворота в плоскости действия и одновременного изменения плеч и величин сил пар. Сложим геометрически силы в точках А и В. Получим две силы и , эквивалентные исходным четырем силам. Силы и составляют пару сил, так как

Моменты исходных пар сил можно выразить в виде векторных произведений

Для момента эквивалентной пары сил можно записать

Теорема доказана.

Применяя последовательно эту теорему, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, векторный момент которой равен геометрической сумме векторных моментов исходных пар сил.

Теорема о сумме моментов сил пары

Геометрическая сумма векторных моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки пространства равна векторному моменту пары сил.

Доказательство

Изобразим пару сил на рис. 73 и вычислим геометрическую сумму векторных моментов сил и относительно произвольно выбранной точки О

Рис. 73

так как для пары сил Кроме того, независимо от выбора точки

что и требовалось доказать.

Отметим, что при рассмотрении пар сил, расположенных в одной плоскости, в формулировках двух последних теорем следует векторные моменты заменить на алгебраические.

Глава 5. Приведение системы сил к центру.

5.1. Приведение произвольной пространственной системы сил к центру

Лемма Пуансо

Силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку твердого тела, добавляя при этом пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту переносимой силы относительно новой точки приложения.

Доказательство

Пусть имеем силу , приложенную к твердому телу в точке А (см. рис. 74). Приложим в точке О тела две равные по величине и противоположно направленные силы и , параллельные исходной силе . При этом по величине . Заметим, что силы составляют пару сил, которую называют присоединенной парой сил. Очевидно, что векторный момент этой пары сил равен векторному моменту силы относительно точки О

Рис. 74

В результате можно записать соотношение эквивалентности

Итак, мы силу , приложенную к твердому телу в точке А, эквивалентным образом заменили силой , равной ей по величине и одинаковой по направлению, но приложенной в точке О, и присоединенной парой сил , векторный момент которой равен векторному моменту исходной силы относительно точки О. Лемма доказана.

Указанный в лемме процесс замены силы силой , приложенной в точке О, и парой сил называют приведением силы к центру О.

Теорема Пуансо (основная теорема статики)

Любую систему сил, действующую на твердое тело, можно эквивалентным образом заменить одной силой и одной парой сил.

Доказательство

Пусть к твердому телу приложена произвольная система сил Выберем произвольную точку О тела за центр приведения и каждую силу заданной системы сил приведем к точке О (см. рис. 75).

Рис. 75

В результате получим, что исходная система сил эквивалентным образом заменена системой из n сходящихся сил, приложенных в точке О, и системой из n присоединенных пар сил:

Далее систему сходящихся сил заменим одной равнодействующей силой , называемой главным вектором исходной системы сил и равной геометрической сумме сил системы:

где

(69)

Систему присоединенных пар сил по теореме о сложении пар сил заменим одной парой сил , векторный момент которой называется главным моментом исходной системы сил относительно центра О и вычисляется как геометрическая сумма векторных моментов складываемых пар сил:

где

(70)

Таким образом, окончательно имеем

Теорема доказана.