Глава 3. Момент силы относительно точки и оси

В механике важное значение имеют понятия моментов силы относительно точки и оси. Эти величины характеризуют способность силы поворачивать тело вокруг соответствующей точки или оси.

3.1. Векторный момент силы относительно точки

Векторным моментом силы относительно точки называется вектор, приложенный в этой точке и равный по величине произведению модуля силы на ее плечо относительно моментной точки. Векторный момент силы направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка, по правилу правого винта (то есть в ту сторону, откуда видно, что сила стремится повернуть тело вокруг моментной точки против часовой стрелки).

Плечом h силы относительно точки О называется кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы.

Введенные понятия иллюстрируются на рис. 66.

Рис. 66

Обозначив векторный момент силы относительно точки О можно согласно определению для его модуля записать

Нетрудно видеть, что модуль векторного момента равен удвоенной площади заштрихованного на рис. 66 треугольника

Легко также доказать, что для векторного момента силы справедлива формула

(60)

где - радиус-вектор точки приложения силы относительно моментной точки О. Вычислим модуль векторного произведения в правой части равенства (60)

то есть, модули векторов в левой и правой частях равенства (60) равны. Из рис. 66 видно, что и направления этих векторов одинаковы. Таким образом, равенство (60) доказано.

Если выбрать оси декартовой системы координат с началом в точке О, то векторное произведение в (60) можно записать в виде определителя третьего порядка

(61)

где x,y,z – координаты точки приложения силы А, - орты координатных осей. Заметим, что выражения в скобках перед ортами в (61) являются проекциями векторного момента на соответствующие оси координат.

Для системы сил вводится понятие главного момента.

Главным моментом системы сил относительно центра О называется вектор, равный геометрической сумме векторных моментов всех сил системы относительно центра О:

3.2. Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется взятое со знаком плюс или минус произведение величины проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо этой проекции относительно рассматриваемой оси. Знак момента определяется по правилу правого винта (знак плюс ставится, если с положительного направления оси видно, что указанная проекция силы стремится повернуть тело вокруг оси против часовой стрелки).

В соответствии с данным определением для моментов силы относительно осей декартовой системы координат справедливы формулы

(62)

Вычисление момента силы относительно оси x иллюстрируется также рис. 67. В приведенном на рисунке случае момент силы относительно оси x будет положительным.

Рис. 67

Момент силы относительно оси по модулю равен удвоенной площади заштрихованного на рис. 67 треугольника . Из рассмотренного определения следует, что момент силы относительно оси обращается в нуль в двух случаях:

1) когда сила параллельна оси и

2) когда линия действия силы пересекает ось.

Связь между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки устанавливает следующая

Теорема

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента этой силы, вычисленного относительно любой точки оси.

Доказательство

Изобразим на рис. 68 силу и ось z . Выберем на оси z произвольную точку О и проведем через эту точку плоскость xy , перпендикулярную оси. Построим проекцию силы на эту плоскость.

Рис. 68

Векторный момент направлен перпендикулярно к плоскости треугольника ОАВ и равен по модулю удвоенной площади этого треугольника. Момент силы относительно оси z численно равен удвоенной площади треугольника и для изображенного на рис. 68 случая будет положительным. При этом треугольник является проекцией треугольника ОАВ на плоскость xy . Из геометрии известно, что площадь проекции плоской фигуры равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями, в которых эти фигуры расположены. Угол между плоскостями измеряется углом между перпендикулярами к этим плоскостям. Угол между плоскостями рассматриваемых треугольников обозначен на рис. 58 буквой α . Таким образом, для момента силы относительно оси z получим

Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что момент силы относительно координатных осей можно вычислять не только по формулам (62), но и еще двумя способами. Исходя из выражения (61) по формулам

(63)

А также через векторный момент силы относительно начала координат

(64)

где α, β, γ – углы, составляемые векторным моментом силы с соответствующими координатными осями.