1.2. Аксиомы статики

Все основные методы изучения движения и равновесия тел в теоретической механике могут быть строго доказаны математически, исходя из нескольких основных положений, называемых аксиомами. Сами аксиомы сформулированы на основании многовекового опыта человечества. Далее приведем формулировки аксиом статики и дадим необходимые пояснения.

П е р в а я а к с и о м а . Система из двух сил, равных по величине и направленных в противоположные стороны вдоль одной прямой, является уравновешенной.

Эта аксиома справедлива для сил, приложенных к одному абсолютно твердому телу.

В т о р а я а к с и о м а. Механическое состояние тела не изменится, если к действующей на него системе сил добавить или изъять уравновешенную систему сил.

Исходя из приведенных выше двух аксиом, докажем следствие.

Любую силу, не нарушая ее действия на абсолютно твердое тело, можно переносить вдоль линии действия силы.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, на которое в точке А действует сила . Возьмем уравновешенную систему сил , равных по величине силе и направленных в противоположные стороны по линии действия силы . Приложим обе эти силы в точке В на линии действия силы (см. рис. 51).

Рис. 51

Тогда по второй аксиоме

Но по первой аксиоме силы образуют уравновешенную систему и по второй аксиоме их можно отбросить. В результате получим

что и доказывает следствие.

Т р е т ь я а к с и о м а (закон равенства действия и противодействия). Два тела взаимодействуют с другом с силами, равными по величине и противоположно направленными вдоль одной прямой.

Заметим, что эти силы не будут уравновешенными, так как они приложены к разным телам.

Ч е т в е р т а я а к с и о м а (аксиома параллелограмма сил). Система из двух сил, приложенных в одной точке тела, имеет равнодействующую силу, равную геометрической сумме двух данных сил.

Эту аксиому можно выразить формулой и пояснить рисунком

Рис. 52

Величину равнодействующей можно вычислить по формуле

Данная аксиома допускает и обратное утверждение: силу можно по правилу параллелограмма разложить бесчисленным множеством способов на две силы.

При этом составляющие силы могут располагаться в любой одной плоскости, проходящей через линию действия разлагаемой силы.

П я т а я а к с и о м а (аксиома связей). Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если связи мысленно отбросить и заменить их действие соответствующими реакциями.

Ш е с т а я а к с и о м а (аксиома отвердевания). Равновесие механической системы не нарушится от наложения новых связей. В частности, равновесие деформируемого тела не нарушится, если оно станет абсолютно твердым.

При этом под механической системой подразумевается выделенная совокупность материальных точек и тел.

1.3. Основные виды связей и их реакции

Встречающиеся на практике связи, ограничивающие перемещение несвободных тел, весьма разнообразны. В механике принята классификация, в соответствии с которой все многообразные связи, встречающиеся в механизмах и конструкциях, подразделяются на небольшое число видов. Связи, внутри одного вида характеризуются аналогичным действием на несвободное тело. Рассмотрим далее основные виды связей в соответствии с этой классификацией и поясним, как правильно заменить их действие на несвободное тело соответствующими реакциями.

1. Гибкая нить. Здесь объединены такие связи как трос, канат, нить, цепь и т. д. Реакцию такой связи называют силой натяжения. Она направлена вдоль нити в случае ее прямолинейности или по касательной к ней, если нить криволинейна (см. рис. 53).

Рис. 53

2. Гладкая поверхность. Здесь имеется в виду абсолютно гладкая поверхность без трения. Реакция такой поверхности направлена перпендикулярно общей касательной плоскости, проведенной в точке контакта с несвободным телом (см. рис. 54). Такую реакцию называют нормальной реакцией.

Рис. 54

3. Шероховатая поверхность. Реакция такой поверхности уже не перпендикулярна касательной плоскости. Ее удобно по правилу параллелограмма раскладывать на две взаимно перпендикулярные составляющие: нормальную реакцию и силу трения (см. рис. 55). В случае скольжения несвободного тела по шероховатой поверхности величины этих составляющих связаны законом трения Кулона где f – коэффициент трения скольжения.

Рис. 55

4. Подвижный шарнир. Шарниром называют устройство, связывающее тела и позволяющее им поворачиваться друг относительно друга. Подвижный шарнир – это такая опора, к которой несвободное тело крепится с помощью шарнира, а сама опора может скользить без трения по опорной поверхности (см. рис. 56). Реакция такой опоры, как и реакция гладкой поверхности, направлена перпендикулярно опорной поверхности, на которую опирается подвижный шарнир.

Рис. 56

5. Неподвижный цилиндрический шарнир. Цилиндрический шарнир позволяет скрепленным с его помощью телам поворачиваться друг относительно друга вокруг определенной оси, называемой осью шарнира, и не препятствует перемещению вдоль этой оси. Неподвижный шарнир жестко крепится к неподвижному основанию. Реакция неподвижного цилиндрического шарнира может быть как угодно направлена в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. Ее удобно в этой плоскости раскладывать на две взаимно перпендикулярные составляющие (см. рис. 57).

Рис. 57

6. Неподвижный сферический шарнир. Сферический (шаровой) шарнир позволяет скрепленным с его помощью телам поворачиваться друг относительно друга в любом направлении. Реакция такой опоры может быть как угодно направлена в пространстве. Ее удобно раскладывать на три взаимно перпендикулярные составляющие (см. рис. 58).

Рис. 58

7. Подпятник. Это цилиндрический шарнир, который препятствует перемещению несвободного тела вдоль оси шарнира в одном направлении (см. рис. 59). Реакция подпятника раскладывается на три взаимно перпендикулярные составляющие.

Рис. 59

8. Стержневая опора. Это опора в виде ненагруженного стержня, закрепленного на его концах с помощью шарниров. Реакция такой опоры будет направлена вдоль прямой, проходящей через концы стержня (см. рис. 60). Заметим, что стержень может быть как прямолинейным, так и изогнутым.

Рис. 60

9. Жесткая заделка. Это такое крепление несвободного тела, которое не дает ему никакой свободы перемещения. Примером такого крепления может быть сварное соединение или заделка балконной плиты в стену дома. В случае действия на закрепленное таким образом тело плоской системы сил в жесткой заделке возникают реакции, лежащие в той же плоскости. Они включают в себя силу, которую удобно в плоскости действия разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие , а также пару сил с моментом (см. рис. 61). Понятие о паре сил будет дано ниже в главе 4.

Рис. 61

Момент называют моментом заделки. Отметим, что одна часть твердого тела крепится к другой его части (в случае, если тело мысленно расчленить каким-либо сечением) с помощью крепления, аналогичного жесткой заделке.

В случае, когда на закрепленное с помощью жесткой заделки тело действует пространственная система сил, реакции включают в себя три взаимно перпендикулярные силы и три пары сил, лежащие в трех координатных плоскостях с моментами