4.4. Ускорения точек тела при плоском движении

Теорема сложения ускорений при плоском движении тела

Ускорение любой точки плоской фигуры может быть найдено как геометрическая сумма ускорения полюса и ускорения точки при ее относительном вращении вокруг подвижной оси, мысленно связанной с полюсом.

Доказательство

Рассмотрим движение точки М плоской фигуры как сложное, связав поступательно перемещающуюся подвижную систему координат с полюсом А. Тогда ускорение точки М можно найти по теореме Кориолиса:

(50)

Так как переносное движение является поступательным вместе с полюсом А, то переносное ускорение

и переносная угловая скорость . Поэтому ускорение Кориолиса

Относительное ускорение точки при относительном вращении вокруг полюса А обозначим

Тогда формула (50) примет вид

(51)

что и доказывает теорему.

Поясним более подробно векторное равенство (51). Ускорение при относительном вращении вокруг полюса состоит из нормальной и тангенциальной составляющих (см. рис. 42)

Рис. 42

Поэтому более подробно векторное равенство (51) можно записать в виде

(52)

Причем

Отметим, что полное относительное ускорение составляет с отрезком АМ угол α, тангенс которого можно определить по формуле (см. рис. 42)

(53)

Из формулы (53) следует, что угол α для всех точек плоской фигуры одинаков. От ускорения к отрезку МА его надо откладывать в направлении углового ускорения ε.

Таким образом, с помощью формулы (52) можно вычислить ускорение любой точки плоской фигуры, если известны ускорение полюса , угловая скорость ω и угловое ускорение ε.

4.5. Мгновенный центр ускорений

Теорема о существовании мгновенного центра ускорений

В любой момент времени при плоском движении фигуры в ее плоскости, если ω и ε не равны нулю одновременно, существует единственная точка подвижной плоскости, мысленно связанной с фигурой, ускорение которой равно нулю. Эту точку называют мгновенным центром ускорений (МЦУ).

Доказательство

При доказательстве укажем конкретный способ построения МЦУ. Пусть известны ускорение какой-либо точки плоской фигуры , ее угловая скорость ω и угловое ускорение ε (см. рис. 43).

Рис. 43

Вычислим угол α по формуле

Мысленно повернем вектор на угол α в сторону ε и проведем из точки А луч в полученном направлении. Отложим на этом луче расстояние AQ, вычисленное по формуле

Найдем далее ускорение точки Q по теореме сложения ускорений, выбрав в качестве полюса точку А,

Величина ускорения точки Q при ее относительном вращении вокруг полюса А равна

Вектор будет направлен под углом α к отрезку AQ, как показано на рис. 43. Поэтому и для ускорения точки Q имеем

Следовательно, точка Q является мгновенным центром ускорений. Теорема доказана.

Если мгновенный центр ускорений выбрать в качестве полюса, то для ускорения точки А плоской фигуры из (51) получим

Для модуля ускорения точки А имеем

Вектор направлен под углом α к отрезку AQ, причем поворот от вектора к отрезку AQ на угол α осуществляется в направлении углового ускорения ε (см. рис. 44).

Рис. 44

Аналогично для точки В

и ускорение также направлено под углом α к отрезку BQ.

Из двух последних формул следует, что

т. е. ускорения точек плоской фигуры при плоском движении пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений.

Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что ускорения точек плоской фигуры при плоском движении можно находить так же, как и при ее вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений.

Пример 7

В кривошипно-шатунном механизме даны длина кривошипа ОА=0,4 м, длина шатуна АВ=1 м и постоянная угловая скорость вращения кривошипа Для заданного положения механизма, когда кривошип составляет с вертикалью угол и шатун перпендикулярен кривошипу (см. рис. 45), найти ускорение поршня В, а также положение МЦУ для шатуна АВ.

Рис. 45

Решение

Найдем сначала ускорение точки А. Так как кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью, то

Изобразим вектор на рис. 45, направив его к оси вращения. Выбрав точку А в качестве полюса, ускорение точки В можно найти по теореме сложения ускорений (формула (52))

(54)

Нормальное ускорение точки В при ее относительном вращении вокруг полюса А равно:

Для нахождения угловой скорости построим мгновенный центр скоростей для шатуна АВ (точка Р на рис. 45), восстановив перпендикуляры к направлениям скоростей точек А и В. После этого можем вычислить

.

Теперь можно найти

Вектор направим от точки В к полюсу А.

Для двух оставшихся векторов в равенстве (54) известны линии действия. Вектор направлен по горизонтали вдоль траектории точки В. Вектор направлен перпендикулярно шатуну АВ по касательной к относительной траектории точки В. Точное направление этих векторов неизвестно, поэтому направим их вдоль указанных линий действия наугад: вектор - по горизонтали вправо, вектор - перпендикулярно АВ вверх (см. рис. 45). Выберем оси координат и векторное равенство (54) в проекциях на эти оси:

Так как направления векторов и выбраны наугад, то в записанных формулах их модули заменены соответствующими алгебраическими значениями и , которые могут быть как положительными, так и отрицательными величинами. Решая эту систему уравнений, найдем

Полученные результаты показывают, что вектор направлен на рис. 45 верно, а направление вектора следует изменить на противоположное. Для модулей этих векторов имеем

Построим теперь МЦУ для шатуна АВ. Вычислим сначала угловое ускорение

Изобразим на рис. 45 в виде дуговой стрелки, согласованной с направлением вектора . Найдем далее угол

и расстояние AQ от точки А до МЦУ

Построим теперь точку Q на рис. 45, повернув вектор на угол α в направлении и отложив на полученном луче расстояние AQ.

Если теперь соединить МЦУ с точкой В, то вектор должен составлять с отрезком BQ такой же угол α ускорения точек А и В должны быть пропорциональны расстояниям от точек до МЦУ