6.11. Теорема 3.
Если {х1, х2,…, } – приведённая система вычетов по модулю т и
(а, m) = 1, – то система чисел {ах1, ах2 , … , ах(т)} также образует
приведённую систему вычетов по модулю т .
6.12. Определение 6.
Суммой (
)
классов
вычетов
и
по
модулю т
называется
класс вычетов
,
то есть класс вычетов, состоящий из
чисел а
+
b,
равных
сумме любых двух вычетов, взятых по
одному из каждого данного
класса
и
:
=
,
где
а
,
b
.
6.13. Определение 7.
Произведением
(
)
классов
вычетов
и
по
модулю т
называется
класс вычетов
,
то есть класс вычетов, состоящий из
чисел а
b,
равных
произведению любых двух вычетов, взятых
по одному из каждого
данного
класса
и
:
=
,
где
а
,
b
.
Таким образом, в множестве классов вычетов по модулю т: Zт = { , , ,…, } определены две алгебраические операции – "сложения" и "умножения".
6.14. Теорема 4.
Множество классов вычетов Zт по модулю т является ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей:
Zт , +, = { , , ,…, }, +, – кольцо.
Типовые задачи
1. Составить по модулю т = 9:
1) полную систему наименьших положительных вычетов;
2) полную систему наименьших неотрицательных вычетов;
3) произвольную полную систему вычетов;
4) полную систему наименьших по абсолютной величине вычетов.
Ответ: 1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
3) например, {10, – 7, 21, 49, – 4, 15, 25, – 1, 0}; 4) {– 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4}.
2. Составить приведённую систему вычетов по модулю т = 12.
Решение.
1) Составим полную систему наименьших положительных вычетов по модулю т = 12:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} (всего т = 12 чисел).
2) Вычеркнем из этой системы числа, не взаимно простые с числом 12:
{1,
2,
3,
4,
5, 6,
7, 8,
9,
10,
11, 12}.
3) Оставшиеся числа, взаимно простые с числом 12, образуют искомую приведённую систему вычетов по модулю т = 12 (всего (т) = (12) = 4 числа).
Ответ: {1, 5, 7, 11} – приведённая система вычетов по модулю т = 12.
Упражнения для самостоятельной работы
130. Составьте 1) полную систему наименьших положительных вычетов; 2) полную систему наименьших неотрицательных вычетов; 3) произвольную систему вычетов; 4) полную систему наименьших по абсолютной величине вычетов; 5) приведённую систему вычетов: а) по модулю m = 6; б) по модулю m = 8.
131. Является ли множество {9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85} полной системой вычетов по модулю 8 ?
132 По какому модулю множество{20, – 4, 22, 18, – 1}является полной системой вычетов?
133. Составьте приведённую систему вычетов по модулю m , если а) m = 9; б) m = 24; в) m = 7. Сколько чисел должна содержать такая система ?
134. Сформулируйте основные свойства полной системы вычетов и приведённой системы вычетов по модулю m .
135. Какими элементами отличаются приведённая и полная системы наименьших неотрицательных вычетов по простому модулю ?
136. При каком условии числа а и – а принадлежат одному классу вычетов по модулю m ?
137. Каким классам вычетов по модулю 8 принадлежат все простые числа р 3 ?
138. Образует ли множество чисел {0, 20, 21, 22, ... , 29 } полную систему вычетов по модулю 11 ?
139.
Скольким
классам вычетов по модулю 21
принадлежат все вычеты из одного
класса вычетов
по
модулю 7
?
140. Множество целых чисел Z распределите по классам вычетов по модулю 5. Составьте таблицы сложения и умножения в образовавшемся множестве классов вычетов Z5. Является ли множество Z5: а) группой с операцией сложения классов ? б) группой с операцией умножения классов ?