§ 6. Классы вычетов по модулю т . Полная и приведённая системы вычетов основные сведения из теории

6. 1. Определение 1.

Классом чисел по данному модулю т называется множество всех тех и только тех целых чисел, которые при делении на т имеют один и тот же остаток r, то есть сравнимых по модулю т (т N, т > 1).

Обозначение класса чисел, имеющих остаток r: .

Каждое число из класса называется вычетом по модулю т, а сам класс называется классом вычетов по модулю т.

6. 2. Свойства множества классов вычетов по модулю т:

1) всего по модулю т будет т классов вычетов: Z_т = { , , , … , };

2) каждый класс содержит бесконечное множество целых чисел (вычетов) вида: = {a = mq + r / qZ, 0  r < m}

3) а  : а  r (mod m);

4) а, b  : а  b (mod m), то есть любые два вычета, взятые из одного класса, сравнимы по модулю т;

5) а  , b  : а b (mod m), то есть никакие два вычета; взятые из разных классов, несравнимы по модулю т.

6. 3. Определение 3.

Полной системой вычетов по данному модулю т называется любой набор т чисел, взятых по одному и только по одному из каждого класса вычетов по модулю т .

Пример: если m = 5, то {10, 6, – 3, 28, 44} – это полная система вычетов по модулю 5 (причём, не единственная !)

В частности,

множество {0, 1, 2, 3, … , m –1} – это система наименьших неотрицательных вычетов;

множество {1, 2, 3, … , m –1, т}– это система наименьших положительных вычетов.

6. 4. Отметим, что:

если {х₁, х₂, … , х_т} – полная система вычетов по модулю т, то

.

6. 5. Теорема 1.

Если {х₁, х₂, … , х_т} – полная система вычетов по модулю т, а, b  Z и (а, т) = 1, – то система чисел {ах₁ + b, ах₂ + b, … , ах_т+ b}также образует полную систему вычетов по модулю т .

6. 6. Теорема 2.

Все вычеты одного и того же класса вычетов по модулю т имеют с числом т один и тот же наибольший общий делитель: а, b   (а; т) = (b; т).

6. 7. Определение 4.

Класс вычетов по данному модулю т называется взаимно простым с модулем т, если хотя бы один вычет этого класса – взаимно простой с т.

Заметим, что в этом случае по теореме 2 все числа этого класса будут взаимно простыми с модулем т.

6. 8. Определение 5.

Приведённой системой вычетов по данному модулю т называется система вычетов, взятых по одному и только по одному из каждого класса, взаимно простого с модулем т .

6. 9. Отметим, что:

1) приведённая система вычетов по модулю т содержит (т) чисел {х₁, х₂,…, };

2) : .

3)  х_i : (х_i, m) = 1;

Пример: Пусть по модулю т = 10 имеется 10 классов вычетов:

Z₁₀ = { , , , , , , , , , }– множество классов вычетов по модулю 10. Полная система вычетов по mod 10 будет, например, такая: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Множество классов вычетов, взаимно простых с модулем m=10: { , , , }((10) = 4).

Приведённая система вычетов по модулю 10 будет, например,

{1, 3, 7, 9}, или {11, 43, – 5, 17}, или { – 9, 13, – 5, 77} и т.д. (везде (10) = 4 числа).

6.10. Практически: чтобы составить одну из возможных приведённых систем вычетов по mod m , нужно из полной системы вычетов по mod m выбрать те вычеты, которые взаимно простые с т. Таких чисел будет (т).