Глава 2. Числовые сравнения. Классы вычетов по данному модулю

§ 5. Числовые сравнения по данному модулю

Основные сведения из теории

5. 1. Определение 1.

Целые числа a и b называются равноостаточными (или сравнимыми) по данному модулю т (т N, т > 1), если при делении на число т они имеют равные остатки.

Число т называется модулем и обозначается mod m. Тогда запись вида

а  b (mod m) называется числовым сравнением (читается: число а сравнимо с числом b по модулю т).

В этой записи числа a и b сравнимы (равноостаточны) по модулю т .

Пример. Так как и число 8, и число 32 при делении на 6 имеют остаток r, равный 2, то эти числа сравнимы по mod 6, т. е. 8  32 (mod 6).

Аналогично 73  – 27 (mod 10) (остаток r = 3); 36  12 (mod 4) (остаток r = 0) и т.д.

5. 2. Лемма.

Для того, чтобы число a было сравнимо с числом b по модулю т, необходимо и достаточно, чтобы разность a – b делилась без остатка на т.

Пример. 73  – 27 (mod 10), так как 73 – ( – 27) = 100, а 100 делится на 10. Обратно: 36 – 12 = 24, 24 делится на 4, значит, 36  12 (mod 4)

5. 3. Отметим, что если a = b, то а  b (mod m), где m – любое натуральное число, m > 1. Это означает, что равенство двух чисел есть частный случай их сравнимости. Обратное, вообще говоря, неверно.

5. 4. Свойства числовых сравнений, аналогичные свойствам числовых равенств.

1⁰ Рефлексивность: а  а (mod m).

2⁰ Симметричность: если а  b (mod m), – то b  а (mod m).

3⁰ Транзитивность: если а  b (mod m), b  с(mod m), – то а  с (mod m).

Следствие 1: Отношение сравнимости обладает свойством эквивалентности.

4⁰ Сравнения по одному и тому же модулю можно почленно складывать (вычитать):

если а  b (mod m), c  d (mod m), – то а  c  b  d (mod m).

Следствие 1: К обеим частям сравнения можно прибавить (вычесть) одно и то же целое число: если а  b (mod m), – то а  к  b  к (mod m) (кZ).

Следствие 2: Любое слагаемое можно перенести из одной части сравнения в другую с противоположным знаком: если а + с  b (mod m), – то а  – с + b (mod m).

5⁰ Сравнения по одному и тому же модулю можно почленно перемножать:

если а  b (mod m), c  d (mod m), – то а  c  b  d (mod m).

Следствие 1: Обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое число к  0: если а  b (mod m), – то а  к  b  к (mod m).

Следствие 2: Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же степень t  N: если а  b (mod m), – то а ^t  b ^t (mod m).

Следствие 3: Если а  b (mod m) и f(x) = c_n xⁿ + c_{n – 1} x^{n – 1} + . . . + c₁ x + c₀, где c_i  Z, – то f(a)  f(b) (mod m).

5. 5. Свойства числовых сравнений, зависящие от модуля (не аналогичные свойствам числовых равенств).

6⁰ К любой части сравнения (или к обеим частям) можно прибавить целое число, кратное модулю: если а  b (mod m), – то а  kт  b  tm (mod m), (k, t Z).

7⁰ Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же число k  N: если а  b (mod m), – то а  k  b  k (mod m  k).

8⁰ Вообще говоря, нельзя обе части сравнения делить на одно и то же целое число k  0.

Пример: 18  12 (mod 6), однако 18 :3 12 :3 (mod 6) (так как 6 4(mod 6).

9⁰ Но: обе части сравнения можно разделить на одно и то же целое число k  0, если оно взаимно простое с модулем. При этом частные будут сравнимы по тому же модулю: если а  b (mod m), где a k, b k и (k; m) = 1, – то а:к  b:к (mod m).

Пример: 35  21 (mod 2), 35 7, 21 7 и (7; 2) = 1  35 :7  21 :7 (mod 2), или 5  3 (mod 2).

10⁰ Если обе части сравнения и модуль т делятся на одно и то же число k  N, (k  т) то частные от деления левой части и правой части сравнимы между собой по модулю, являющемуся частным от деления данного модуля на число k:

если а  b (mod m), где a k, b k и т k, – то a : k  b : k (mod т : k ).

Пример: 15  5 (mod 10)  15 :5  5 :5 (mod 10 : 5), или 3  1 (mod 2).

11⁰ Если а  b (mod m), где т п (п  N, п 1) – то а  b (mod п).

12⁰ Если а  b (mod m₁), а  b (mod m₂) и т = НОК(m₁; m₂), – то а  b(mod m).

Пример: 49  1(mod 8), 49  1(mod 6) и НОК (8; 6) = 24  49  1 (mod 24).