7.Итальянские алгебраисты эпохи Возрождения
Среди итальянских математиков эпохи Возрождения заслуживает внимания фигура Лука Пачоли, который, в том числе, являлся основоположником современных принципов бухгалтерии. В 1494 г. он публикует математическое сочинение под названием «Сумма арифметики и геометрии. Учение о пропорциях и отношениях», содержащее правила и приемы арифметических действий как с целыми числами, так и с дробями, задачи на пропорции и проценты, а также решения линейных, квадратных и отдельных видов биквадратных уравнений30. Данный труд Л. Пачоли был издан на родном автору итальянском языке, в то время как большинство научных трудов этого периода были написаны на латыни. В арифметической части его сочинения раскрывались приёмы выполнения арифметических действий. В основу данной части «Суммы» были положены многочисленные «Книги абака» разного авторства. Алгебраические задачи, которые решались в «Сумме», были ограничены линейными и квадратными уравнениями, которые рассматривались в арабских трактатах по «алгебре и альмукабале»31. Еще ранее в странах Европы эти задачи были известны по «Книге абака», составленной Леонардо Пизанским (1180—1240). Заслуга Л. Пачоли состоит в систематическом использовании синкопированной алгебраической записи — своего рода предшественницы исчисления посредством символов. Книга содержит таблицу монет, весов и мер, которые использовались в различных частях Италии, а также руководство по венецианской двойной бухгалтерии. Выход книги Л. Пачоли приумножил его славу как первого математика эпохи. Многие положения трактата мыслителя нашли свое логическое продолжение в работах других известных математиков эпохи Возрождения, в частности, Д. Кардоно. Еще в 1530 г. Никколо Тарталья разработал общий метод решения кубических уравнений. Позднее он сообщил его Джероламо Кардано, который в 1545 г. опубликовал его как метод дель Ферро32 (с указанием имени Н. Тартальи). Кардано заметил, что метод Тартальи при наличии трех действительных корней требует извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Изучивший подробно этот вопрос Рафаэль Бомбелли считается первооткрывателем комплексных чисел, именно он «провозгласил равноправие между действительными и комплексными корнями»33. В дальнейшем Франсуа Виет (1540—1603) вывел в математику решение кубического уравнения с тремя действительными корнями. Его работа была впоследствии углублена Рене Декартом. В третьей части своего объемного труда «Геометрия» - «О построении телесных и превосходящих телесные задачи», содержится важный вывод автора о том, что кубическое уравнение нельзя решить, используя только квадратные, а не кубические корни34. Кроме того, Декарт указывал, что решение кубического уравнения с целочисленными коэффициентами и старшим коэффициентом 1 при помощи циркуля и линейки возможно тогда, когда уравнение имеет вещественный корень. Таким образом, итальянские алгебраисты эпохи Возрождения добились значительных успехов, в первую очередь, в решении уравнений 3-ей и 4-ой степеней. Это обусловило необходимость дальнейших научных поисков решения уравнений любых степеней.
8. Уравнения пятой степени. Абель (норвежский математик) Значительное число попыток, предпринятых учеными в решении уравнений любых степеней, длительное время не приносили успеха. С течением времени они стали сводиться к конкретной задаче возможности либо невозможности решения алгебраических уравнений пятой степени в радикалах35. Первое доказательство теоремы невозможности решения в радикалах уравнений степеней, которые начинались с 5-ой, было опубликовано только в 1799 г. итальянским математиком Паоло Руффини. Его доказательства теоремы составляли целую эпоху в истории алгебры. Однако, в них имелся ряд неточностей. Спустя еще четверть века норвежским математиком Нильсом Абелем было опубликовано полное доказательство36. В 1824 г. он издал научную статью, в которой заявил, что уравнения пятой степени не разрешимы алгебраическими средствами, как, впрочем, и любой полиномиал более высокого порядка. Н. Абелю удалось опубликовать свою работу в берлинском «Журнале чистой и прикладной математики», который считался очень престижным и авторитетным научным изданием. упрочилась его репутация в научном мире. Ученый убедительно доказывал, что любой полиномиал выше четвертой степени не может быть решен с помощью радикалов, типа квадратных и кубических корней, а также более высокого порядка37. Н. Абель приводил конкретные примеры уравнений 5-ой степени, чьи корни не могли быть выражены в радикалах. При этом в том случае, если допускались комплексные решения, то основная теорема алгебры, а именно утверждение о том, что поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым, гарантировала наличие решений. Однако явные условия, при которых в особых случаях эти полиномиалы могли быть решены, и метод их решения были сформулированы только Эваристом Галуа (1811-1832). Заслуги Н. Абеля на математическом поприще как ученого своего времени сложно переоценить. Не случайно признанный лидер математиков Франции XIX в., Шарль Эрмит отмечал, что норвежский алгебраист оставил столь богатое наследие, что математикам всего мира будет чем заниматься еще ближайшие 500 лет38. Стоит также отметить, что в честь великого ученого в 2002 г. правительство Норвегии учредило Абелевскую премию в области математики, которая с 1947 г. получила статус Нобелевской премии за особые достижения в математической науке.
1 Рыбников К.А. История математики. М., 1974. С. 28.
2 Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики / Пер. с фр. А. Бряндинской. / Под ред. И. Башмаковой. М., 1986. С. 29.
3 Рыбников К.А. Указ. соч. С. 25.
4 Клайн М. Математика. Утрата определённости. М., 1984. С. 44—47.
5 Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967. С. 11.
6 Болгарский Б.В. Очерки по истории математики. Минск, 1979. С. 32.
7 Выготский М.Я. Указ. соч. С. 43.
8 История математики. В двух томах / Под общ. ред. К. А. Рыбникова. Т. I. 1970-1972 гг. М., 1960. С. 22.
9 Колмогоров А.Н. Математика // Большая Российская энциклопедия / Под ред. Б.А. Введенского. М., 1998 . С. 447.
10 Щетников А. И. Вторая книга «Начал» Евклида: её математическое содержание и структура // Историко-математические исследования, 2007, вып. 12(47). С. 169.
11 Fowler D.H. An invitation to read Book X of Euclid’s Elements. Historia Mathematica, v. 19, 1992, p. 248.
12 См. Unguru S. On the need to rewrite the history of Greek mathematics // Archive for History of Exact sciences, 15, 1975, p. 67-114.
13 Джунн К. Д. Геометрические алгебры для евклидовой геометрии. 2014. URL: http://poivs.tsput.ru/ru/Biblio/Publication/27871, дата обращения: 17.09.2017
14 Щётников А. И. Можно ли назвать книгу Диофанта Александрийского «О многоугольных числах» чисто алгебраической? // Историко-математические исследования, 2003, № 8 (43). С. 267.
15 Christianidis J. The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus’ method of solution. Historia Mathematica, 34, 2007, p. 289—305.
16 Стиллвелл Д. Математика и её история. Москва — Ижевск, 2004. С. 199—200.
17 Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Указ. соч. С. 27.
18 История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под ред. А.П. Юшкевича. М., 1970. С. 209.
19 Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Указ. соч. С. 25.
20 История математики с древнейших времен до начала XIX столетия… С. 209.
21 Майер Р.А. История математики: Курс лекций. Часть 1. Красноярск, 2001. С. 155.
22 Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. 4-е изд. М., 1984. С. 121.
23 Глезер Г. И. История математики в школе. VII—VIII классы. М., 1982. С. 124.
24 John Crossley, Anthony W.-C. Lun. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press, 1999. С. 176. ISBN 978-0-19-853936-0.
25 Roger Cooke. The History of Mathematics. John Wiley & Sons, 2012. P. 63. URL: ISBN 978-1-118-46029-0, дата обращения: 02.09.2017
26 Thomas L. Heath. Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. Martino Pub, 2009. URL: ISBN 978-157898754, дата обращения: 05.09.2017
27 Ремесленников В.Н. Горнера схема // Математическая энциклопедия / Под общ. ред. И.М. Виноградова. Т. I. М., 1977. URL: http://istudy.su/matematicheskaya-enciklopediya-v-5-tomax-i-m-vinogradov-1977/, дата обращения: 13.10.2017
28 Знаки математические // Математическая энциклопедия. Т. 3. URL: http://dic.academic.ru/contents.nsf/enc_mathematics, дата обращения: 13.10.2017
29 История математики. В 3-х томах / Под ред. А.П. Юшкевича. Том I. С. 212.
30 Соколов Я. Лука Пачоли: Человек и мыслитель // В кн.: Пачоли Л. Трактат о счетах и записях / Под ред. Я. В. Соколова. М., 1994. URL: ISBN 5-279-01215-7, дата обращения: 02.09.2017
31 Щетников А. И. Лука Пачоли и его трактат «О божественной пропорции» // Математическое образование, № 1 (41), 2007. С. 33-44.
32 Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. Издание третье, расширенное. М., 2001. С. 36-37.
33 Серовайский С.Я. Вечные тайны уравнений // Математика. Республиканский научно-методический журнал. 2008, № 4-6. URL: https://тфс.рф/lib/exe/fetch.php/wiki:autor:serov:2008_03_algebra.pdf, дата обращения: 17.10.2017
34 Рыбников К. А. История математики… Т. I. С. 135.
35 Рыбников К.А. Указ. соч. С. 117.
36 Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. М., 2001. URL: https://www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf, дата обращения: 09.10.2017
37 Абель, Нильс Генрих // Энциклопедический словарь / Под ред. И. Е. Андреевского. В. 82-х томах. СПб., 1890. Т. I. С. 25.
38 Стиллвелл Д. Указ. соч. С. 229.