Арифметика Диофанта
Древнегреческий математик Диофант Александрийский нередко упоминается исследователями как «отец алгебры». Ему принадлежит авторство «Арифметики» — труда в 13 книгах, посвящённого нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений14. В современную нам эпоху под «диофантовыми уравнениями» принято понимать уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел. Кроме того, именно Диофант был первым греческим математиком, рассматривавшим дроби наравне с другими числами. Именно он первым среди других античных учёных предложил использование особой математической символики, которая позволяла формулировать полученные в ходе расчетов результаты в компактном виде. От знаменитой «Арифметики» Диофанта сохранились только первые шесть книг. В первой из них подробно описаны используемые автором обозначения (например, неизвестную он называет «числом», а куб - символом ΚΥ). При этом у Диофанта отсутствует знак сложения, вместо которого рядом пишутся положительные члены в порядке убывания степени, причём в каждом члене вначале записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены тоже записываются рядом, а перед всей группой ставится особое обозначение в виде перевёрнутой буквы Ψ, а знак равенства обозначается двумя буквами ἴσ. Диофантом также были сформулированы правила приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения, введено правило знаков («минус на плюс даёт минус», «минус на минус даёт плюс»). Значительная часть сохранившегося труда Диофанта представляет собой задачи с решениями, целью которых является иллюстрация применяемых им методов. Однако основу его труда составляет нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. При этом Диофант в нетипичной для античного математика трактовке понимает рациональные числа как те же натуральные15. При решении систем уравнений второго порядка от двух неизвестных, он описывает методику других возможных решений, если одно уже известно. Подобные методы применяются автором к уравнениям высших степеней. Еще в Х в. труд Диофанта был переведен на арабский язык, а в 1621 г. появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод «Арифметики», выполненный Баше де Мезириаком. Благодаря тщательному анализу методики Диофанта Э. Уайлсом в 1995 г. была доказана Великая теорема Ферма, сформулированная Пьером Ферма еще в 1637 г.16
4. Арабская математика
История математики в странах Ближнего и Среднего Востока, доступная для понимания современных исследователей, начинается с VIII века после мусульманского завоевания. Математика Востока отличалась практичным характером, а наибольшее значение в ней имели вычислительные и измерительные аспекты. Особенно весомый вклад в ее развитие внесли ал-Хорезми, ал-Каши, Омар Хайям и некоторые другие ученые своего времени17. Арабская нумерация вначале была буквенной и, видимо, имела финикийско-еврейское происхождение18. Арабы сумели усвоить индийскую десятичную позиционную систему счисления с нулем. Ее сумел популяризировать в своих трактатах знаменитый арабский ученый Муххамад ал-Хорезми. Тем не менее, она оставалась словесной длительное время, наряду с цифровыми системами восточных и западных арабов, которое появились только в Х веке19. Введение десятичной позиционной нумерации, впервые встречающейся в книге ал-Хорезми «Об индийском счете», являлось важнейшей заслугой багдадской школы20. Этим же автором в первой трети IX в. было составлено первое руководство по арифметике, основанное на позиционном принципе. В своем алгебраическом трактате ал-Хорезми подробно описывает сложение и вычитание, деление и извлечение квадратного корня на основе индийских цифр. В числе арифметических действий ученый выделял удвоение и раздвоение, на основании их применения при извлечении квадратного корня. Чтобы решить какое-либо конкретное уравнение первой или второй степеней, требовалось применить операции «ал-джабр» (восполнение) и «ал-мукабала» (противопоставление). Словом «ал-джабр» обозначался перенос вычитаемого члена уравнения в другую его часть в виде прибавляемого члена, а словом «валмукабала» – уничтожение равных членов в обеих частях уравнения21. Для выражения долей единицы или аликвотных дробей в арабском языке употреблялось понятие конкретной дроби, которая выражала одну или несколько частей предполагаемой делимой (так как абстрактная единица считалась неделимой). Наряду с этим существовала и иная концепция дроби как отношения двух отвлеченных целых чисел, восходящая к античной теории пропорций, служившая теоретической основой арабской арифметики. В последней, в свою очередь, прослеживалась тенденция к отождествлению числа и отношения. На основании трудов Джемшида Ибн Масуда ал-Каши были сформулированы основные правила действий с десятичными дробями, способы перевода шестидесятиричных дробей в десятичные и обратно в его книге «Ключ арифметики» (1427). Прославленный поэт XI—XII вв. Омар Хайям также внёс вклад в арабскую математику своим сочинением «О доказательствах задач алгебры и аль-мукабалы», где изложил оригинальные методы решения кубических уравнений. Еще до Хайяма был известен геометрический метод, по которому неизвестное строилось как точка пересечения двух подходящих конических сечений22. Хайям привёл не только обоснование данного метода, но и классификацию типов уравнений, алгоритм выбора типа конического сечения, оценку числа положительных корней и их величины. При этом Хайям не усматривал возможности для кубического уравнения иметь три вещественных корня. В «Комментариях к трудностям во введениях книги Евклида» (ок. 1077), Хайям рассматривает иррациональные числа как вполне законные. Кроме того, ему принадлежит «Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы», в котором даётся классификация уравнений и излагается решение уравнений 1-й, 2-й и 3-й степени23. Таким образом, арабские математики внесли существенный вклад в развитие алгебры, благодаря которым она оформилась в отдельную дисциплину. Она являлась одновременно теоретической наукой, алгоритмической техникой, а также искусством вычислений.