16

Лабораторная работа № 1 первичная обработка статистических данных

Цель работы: Ознакомится с основными понятиями математической статистики и методикой проведения первичного исследования статистических данных.

Задание: произвести первичную обработку полученных экспериментальных данных и сделать обоснованный вывод о свойствах изучаемой случайной величины.

1. При проведении экспериментов фиксировались значения случайной величины X, характеризующей время технического обслуживания подвижного состава (в минутах). (Значения выборки записаны во втором столбце таблицы 1).

2. Составим расчетную таблицу, в которой запишем вариационный ряд (элементы выборки в порядке возрастания) и произведем расчеты, необходимые для вычисления оценок числовых характеристик.

Таблица 1 – Расчетная таблица

Номер п/п	Выборка, мин.	Вариационный ряд, мин.
1	70,9	60	-10,278	105,637	-1085,740	11159,236
2	75,9	60,3	-9,978	99,560	-993,415	9912,290
3	75,9	60,5	-9,778	95,609	-934,868	9141,135
4	66,2	60,8	-9,478	89,832	-851,432	8069,875
5	61,9	61,9	-8,378	70,191	-588,059	4926,760
6	63,8	61,9	-8,378	70,191	-588,059	4926,760
7	78,4	62	-8,278	68,525	-567,252	4695,715
8	76,6	62,300	-7,978	63,648	-507,788	4051,130
9	65,6	63,1	-7,178	51,524	-369,837	2654,690
10	72	63,4	-6,878	47,307	-325,377	2237,941
11	68,5	63,8	-6,478	41,964	-271,846	1761,018
12	65,4	63,8	-6,478	41,964	-271,846	1761,018
13	74,7	64,6	-5,678	32,240	-183,057	1039,397
14	63,4	65,4	-4,878	23,795	-116,071	566,197
15	61,9	65,6	-4,678	21,884	-102,372	478,896
16	76,2	65,8	-4,478	20,052	-89,795	402,102
17	77,6	66,100	-4,178	17,456	-72,930	304,701
18	72,7	66,1	-4,178	17,456	-72,930	304,701
19	66,8	66,2	-4,078	16,630	-67,817	276,560
20	62,3	66,8	-3,478	12,096	-42,072	146,325
21	63,1	68	-2,278	5,189	-11,821	26,929
22	70,1	68,5	-1,778	3,161	-5,621	9,994
23	75,5	68,8	-1,478	2,184	-3,229	4,772
24	66,1	69,4	-0,878	0,771	-0,677	0,594
25	69,4	70,100	-0,178	0,032	-0,006	0,001
26	71,2	70,9	0,622	0,387	0,241	0,150
27	65,8	71,2	0,922	0,850	0,784	0,723
28	79	71,6	1,322	1,748	2,310	3,054
29	60,5	72	1,722	2,965	5,106	8,793
30	77,3	72,6	2,322	5,392	12,519	29,070
31	78,1	72,7	2,422	5,866	14,208	34,411
32	60,8	74,7	4,422	19,554	86,468	382,362
33	78,9	75,5	5,222	27,269	142,400	743,614
34	64,6	75,8	5,522	30,492	168,379	929,792
35	62	75,9	5,622	31,607	177,694	998,995
36	63,8	75,9	5,622	31,607	177,694	998,995
37	72,6	76,200	5,922	35,070	207,685	1229,911
38	66,1	76,5	6,222	38,713	240,874	1498,718
39	77,7	76,6	6,322	39,968	252,676	1597,416
40	68	76,7	6,422	41,242	264,857	1700,909
41	76,7	77,3	7,022	49,308	346,244	2431,327
42	60,3	77,600	7,322	53,612	392,545	2874,213
43	78,5	77,7	7,422	55,086	408,849	3034,477
44	78,8	78,1	7,822	61,184	478,579	3743,443
45	76,5	78,4	8,122	65,967	535,783	4351,630
46	60	78,5	8,222	67,601	555,818	4569,934
47	68,8	78,8	8,522	72,624	618,906	5274,316
48	75,8	78,9	8,622	74,339	640,950	5526,270
49	71,6	79	8,722	76,073	663,511	5787,145
50	79,6	79,6	9,322	86,900	810,079	7551,555
Итого	3513,9	3513,9	0,0000000000004	1994,326	-918,757	124159,956

Найдем размах выборки = 79,6 – 60,0 = 19,6

Длина интервала = = = 2,950

4) границы интервалов:

= 60,0,

= 60,0 + 2,995 = 62,950,

= 62,995 + 2,995 = 65,900,

= 65,990 + 2,995 = 68,850,

= 68,985 + 2,995 = 71,800,

= 71,980 + 2,995 = 74,750,

= 74,975 + 2,995 = 77,700

= 77,970+ 2,995 = 80,650 .

3. Построим интервальный статистический ряд (Таблица 2).

Таблица 2 – Интервальный статистический ряд

Г раницы интервалов	Ч астоты	Ч астости	Накопленные частости
, мин.
60	8	0,160	0,160
62,950
62,950	8	0,16	0,32
65,900
65,900	7	0,140	0,460
68,850
68,850	5	0,100	0,560
71,800
71,800	4	0,080	0,640
74,750
74,750	11	0,220	0,860
77,700
77,700	7	0,140	1,000
80,650
Итого	50	1

Гистограмма относительных частот приведена на рис. 1

Рисунок 1 – Гистограмма относительных частот

4. Вычислим точечные оценки числовых характеристик.

В качестве оценки математического ожидания используется среднее арифметическое выборочных значений. Эта статистика называется выборочным средним.

.

Для оценивания по выборочным данным моды распределения, используется то значение сгруппированного статистического ряда , которому соответствует наибольшее значение частоты. По интервальному статистическому ряду определяется модальный интервал, в который попало наибольшее число элементов выборки, и в качестве точечной оценки моды может использоваться среднее значение этого интервала.

.

Для определения выборочного значения медианы используется вариационный ряд. В качестве оценки медианы принимают средний (т. е. -й) член этого ряда, если значение n – нечётно и среднее арифметическое между двумя средними (т. е. между -м и -м) членами этого ряда, если n – чётно. В нашем случае объем выборки = 50 - четное, т.е. в качестве оценки медианы примем

= .

В качестве оценки дисперсии используется статистика

= .

Оценка среднего квадратического отклонения:

= .

Оценка коэффициента вариации

.

Оценка коэффициента асимметрии

.

Оценка коэффициента эксцесса

.

Построим интервальные оценки для неизвестных истинных значений и .

Объем выборки составил n = 50. Требуется с доверительной вероятностью определить интервальные оценки:

а) для среднего времени технического обслуживания подвижного состава;

б) для дисперсии времени технического обслуживания подвижного состава;

в) для среднего квадратичного отклонения времени технического обслуживания подвижного состава

а) Средняя стоимость времени технического обслуживания подвижного состава характеризуется генеральной средней a. Требуется найти интервальную оценку параметра a с доверительной вероятностью .

Применяем формулу

,

где , , , , значение определяем по таблицам распределения Стьюдента для и . . Подставим найденные значения в формулу:

мин

Таким образом, с вероятностью можно гарантировать, что среднее время технического обслуживания подвижного состава:

.

б) определим интервальную оценку для дисперсии стоимости строительно-монтажных работ на участке.

Интервальная оценка дисперсии

.

По таблице процентных точек -распределения (см. приложение Г) найдем

;

.

Следовательно, .

Значит с доверительной вероятностью можно утверждать, что истинное значение дисперсии будет находиться в интервале

в) С доверительной вероятностью можно утверждать, что истинное значение среднего квадратичного отклонения  будет находиться в интервале

7) Произведем первичную обработку полученной выборки с помощью ЭВМ:

Summary Statistics for Col_1

Count	50
Average	70,278
Median	70,5
Mode	76,518
Variance	40,7005
Standard deviation	6,3797
Coeff. of variation	9,0778%
Minimum	60,0
Maximum	79,6
Range	19,6
Skewness	-0,07522
Kurtosis	-1,46385
Sum	3513,9

Рисунок 1.4 – Компьютерный расчет

Confidence Intervals for X

95,0% confidence interval for mean: 70,278 +/- 1,81309 [68,4649; 72,0911]

95,0% confidence interval for standard deviation: [5,32918; 7,94995]

The StatAdvisor

This pane displays 95,0% confidence intervals for the mean and standard deviation of X. The classical interpretation of these intervals is that, in repeated sampling, these intervals will contain the true mean or standard deviation of the population from which the data come 95,0% of the time. In practical terms, we can state with 95,0% confidence that the true mean X is somewhere between 68,4649 and 72,0911, while the true standard deviation is somewhere between 5,32918 and 7,94995.

.

Вывод. В результате исследования выборки значений непрерывной случайной величины, характеризующей время технического обслуживания подвижного состава, получили следующие результаты, минут: минимальное время технического обслуживания подвижного состава  – 60,0, максимальное – 79,6, среднее значение времени технического обслуживания подвижного состава – 70,258, наиболее вероятное время технического обслуживания подвижного состава  – 76,518, средневероятное  – 70,5, среднеквадратическое отклонение времени технического обслуживания подвижного состава от среднего значения составило 6,380. С доверительной вероятностью можно гарантировать, что среднее время обслуживания подвижного состава находится в пределах: , истинное значение дисперсии будет находиться в интервале , истинное значение среднего квадратичного отклонения  будет находиться в интервале