1. 5. Основы логики (2 балла)

[Логика столбцов]

Условие:

Матроскин решил изучить различные логические функции. Он узнал, что функции зависят от аргументов и есть три основных логических функции: «не», «и» и «или» (функции указаны в порядке убывания приоритета их выполнения).

Для функции «не» известно, что если значение ее аргумента «0», то значение функции «1» и наоборот.

Для функции «и» известно, что если все ее аргументы имеют значение «1», то функция будет иметь значение «1», при любых других сочетаниях значений аргументов функция принимает значение «0».

Для функции «или» известно, что если все ее аргументы имеют значение «0», то функция будет иметь значение «0», при любых других сочетаниях значений аргументов функция принимает значение «1».

С помощью основных функций могут быть построены более сложные составные логические функции. Значение таких

функций для разных значений аргументов можно записывать в виде таблицы:

#1	#2	#3	Ф
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

В таблице в каждом из столбцов, обозначенных #1, #2, #3 находятся значения одного из аргументов А, В, С, а в столбце Ф значения функции.

Помогите Матроскину определить какой столбец соответствует какому аргументу если известно, что таблица составлена для функции эквивалентной функции Ф(А,В,С) = (А и не B или C) и (B и С или не B).

В ответе запишите подряд без пробелов последовательность из трех латинских букв: сначала обозначение аргумента соответствующего столбцу #1, затем обозначение аргумента соответствующего столбцу #2 и в конце обозначение аргумента соответствующего столбцу #3.

Решение:

Упростим логическое выражение, определяющее функцию

Ф(А,В,С) = (А и не B или C) и (B и С или не B)

Раскроем скобки:

A и не В и В и С или А и не В и не В или С и В и С или С и не В

Первый член содержит противоречие и всегда принимает ложное значение, поэтому получаем следующее эквивалентное выражение:

А и не В или С и В или С и не В

Во втором и третьем члене вынесем С за скобки и получим следующее выражение: А и не В или С и (В или не В)

Выражение в скобках всегда истинно, поэтому окончательно упрощенное выражение будет иметь вид: А и не В или С

Построим его таблицу истинности функции Ф(А,В,С) = А и не В или С, обратив внимание, что эта функция будет принимать истинные значения, если истинно С или если одновременно выполняется условие, что А - истинно, а В – ложно.

А	В	С	Ф
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

Обратим внимание на строки, в которых функция принимает ложное значение (0). В третьей строке функция принимает ложное значение в ситуации, когда только один аргумент В – истинный, а остальные ложны. В исходной таблице тоже есть одна строка, в которой функция ложна при условии истинности только одного аргумента, находящегося в столбце #3 (строка 2), следовательно, столбец #3 соответствует аргументу В.

Теперь обратим внимание на седьмую строку построенной нами таблицы истинности. В ней функция принимает ложное значение при условии что только аргумент С ложный, а остальные аргументы истинны. В исходной таблице тоже есть строка, в которой функция ложна при условии ложности только одного аргумента, находящегося в столбце #1 (строка 4), следовательно, столбец #1 соответствует аргументу С. Значит, столбец #2 соответствует аргументу А. Мы определили какому аргументу соответствует какой столбец исходной таблицы и можем записать ответ: САВ.

Ответ: САВ

) [Таблица истинности]

Условие:

Для логической функции F(A, B, C) построена следующая таблица истинности:

B→A	A or C	B or C	F(A, B, C)
0	0	1	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Определите, сколько существует различных комбинаций значений переменных A, B и C, для которых функция F(A, B, C) будет принимать истинное значение. В ответе укажите целое число.

Решение:

Предложенная в условии таблица истинности определяет значения функции F(A,B,C) не непосредственно на комбинациях значений аргументов, а на комбинациях значений трех других функций, зависящих от этих же аргументов. Всего задано 5 таких комбинаций:

B→A	A or C	B or C	F(A, B, C)
0	0	1	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Построим полную таблицу истинности этих трех функций, то есть определим значения этих функций в зависимости от значений аргументов A, B и C. Обратим внимание, что при этом в каждой строке таблицы встречаются только комбинации значений этих функций, для которых в исходной таблице определены значения искомой функции F(A, B, C):

A	B	C	B→A	A or C	B or C
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	0	1
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	1	0
1	0	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1

Значит, подставив последним столбцом значения функции F(A, B, C) для этих комбинаций значений функций – мы тем самым определим значения функции F(A, B, C) для всех возможных комбинаций значений аргументов. Из получившейся таблицы становится видно, что существует ровно 4 комбинации значений аргументов A, B, C, для которых функция F(A, B, C) будет истинна.

A	B	C	B→A	A or C	B or C	F(A, B, C)
0	0	0	1	0	0	0
0	0	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	1	0
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0
1	0	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1

Ответ: 4