Решение

На рис. 3.12а дан общий вид резервуара с цилиндрической поверхностью в изометрии. На рис. 3.12б представлено среднее сечение резервуара нормальной плоскостью.

Выбираем направления x и y, по которым определяются составляющие силы давления с последующим их геометрическим сложением .

Начало координат выбираем на свободной поверхности. Ось x направляем вправо по направлению действия жидкости, ось y – вертикально вниз.

Определяем горизонтальную составляющую . Спроектируем цилиндрическую поверхность AB на вертикальную плоскость. Получаем в проекции прямоугольник высотой AB = r и шириной равной длине резервуара L. Площадь вертикальной проекции четверти цилиндра A_y = rL.

Находим глубину погружения центра тяжести вертикальной проекции y_C, которая отсчитывается от свободной поверхности жидкости . Показываем y_C на чертеже (рис. 3.12б).

Рассчитываем горизонтальную составляющую

.

Показываем направление и точку приложения силы . Сила приложена в центре давления по нормали к вертикальной проекции AB^` на глубине .

При этом . Здесь I_C – центральный момент инерции вертикальной проекции криволинейной поверхности относительно горизонтальной оси, т.е. . Подставляя значения параметров получим

.

При этом эксцентриситет равен

. На чертеже (рис. 3.12б) указываем координату центра давления , эксцентриситет e, направление и точку приложения силы .

Определяем вертикальную составляющую

Вертикальная составляющая равна силе тяжести жидкости в объеме тела давления. Чтобы найти объем тела давления построим эпюру тела давления. Из контура цилиндрической поверхности проведем вертикальные линии до продолжения свободной поверхности. Тело давления ограничено самой криволинейной поверхностью AB, вертикальными проектирующими плоскостями и горизонтальной проекцией криволинейной поверхности AB на продолжение горизонта свободной поверхности.

Очерченное тело давления построено на несмоченной части криволинейной поверхности AB, не заполнено жидкостью, поэтому оно считается отрицательным. Стрелки в эпюре тела давления направлены вверх. Тело давления представляет криволинейную призму с основанием AA^{``</sup>B<sup>``}B и высотой L.

Площадь основания тела давления можно рассматривать как разность площадей двух фигур: прямоугольника и четверти круга . Тогда объем тела давления есть . Тогда

.

Определим направление и точку приложения R_y. Сила R_y из центра тяжести тела давления будет направлена вверх, поскольку тело давления отрицательно.

Положение центра тяжести составной фигуры определим, пользуясь понятием статического момента площади. Согласно курсу «Сопротивления материалов» в данной точке координаты центра тяжести сложной фигуры рассчитываются по формулам

; , где

- площадь прямоугольника AA^{``</sup>B<sup>``}B;

- площадь четверти круга;

и , и - координаты центров тяжести прямоугольника и четверти круга относительно осей и .

На рис. 3.12в представлено основание тела давления AA^{``</sup>B<sup>``}B. Временные оси и для удобства расчетов совпадают с направлением осей x и y на основном чертежа (рис. 3.12б).

Для расчета координат центра тяжести и фигуры AA^{``</sup>B<sup>``}B имеем:

; ; ;

;

;

.

Откладываем значения координат центра тяжести тела и на рис. 3.12в, показываем положение центра тяжести тела давления. В масштабе переносим положение центра тяжести тела давления на основной чертеж и показываем линию действия и точку приложения вертикальной составляющей R_y.

Определим величину равнодействующей сил давления R на цилиндрическую поверхность AB кН.

Находим положение силы R. Геометрически сложим составляющие R_x и R_y: продолжим силы по линии действия до их взаимного пересечения, получим точку N, через которую проходит равнодействующая R.

Вынесем точку N за пределы чертежа и покажем сложение сил. Чтобы найти положение центра давления для равнодействующей R, силу R по линии действия параллельно перенесем в точку N на основной чертеж (рис. 3.12б) и продолжим ее до пересечения с криволинейной поверхностью AB.

Определим угол наклона равнодействующей к горизонту. При этом , отсюда .

Глубину погружения центра давления для равнодействующей R рассчитаем по формуле

.

Показываем на основном чертеже глубину погружения центра давления для равнодействующей (рис. 3.6б).

Ответ: сила давления воды на цилиндрическую поверхность радиально направлена под углом , приложена на глубине .

Пример 3. Определить силу давления бензина на полусферическую крышку закрытого резервуара. На поверхности бензина действует избыточное давление паров бензина p_ман = 0,03 ат. Крышка перекрывает круглое донное отверстие радиусом r = 0,3 м. Глубина заполнения резервуара H = 0,9 м. Принять плотность бензина _бенз = 750 кг/м³.