Вопрос 16

· Связь между определенным и неопределенным интегралами. Правило Ньютона-Лейбница.

при совпадении пределов интегрирования интеграл обращается в нуль, то сразу увидим, что   , Отсюда вытекает, что   и потому   В частности, при x = b находим:   Эта формула (называемая формулой Ньютона-Лейбница) сводит вопрос о вычислении определенного интеграла любой непрерывной функции к нахождению для нее первообразной функции. По существу этим перекинут мост между двумя частями математического анализа - дифференциальным исчислением (к которому, собственно, надо отнести и понятие первообразной функции) и интегральным исчислением, которое изучает в основном пределы интегральных сумм. К концу XVII в. оба эти исчисления были разработаны уже весьма обстоятельно, но то, что они связаны между собой, еще не было выяснено. Заслугой Ньютона и Лейбница является именно установление факта этой связи. Видим, что в основе ее лежит предложение, составляющее содержание теоремы, почему мы и назвали эту теорему основной теоремой математического анализа. Ввиду чрезвычайной важности установленного результата придадим ему форму следующего правила: Правило. Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции надо найти для нее первообразную функцию и составить разность значений этой последней функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Вопрос 18

· Этапы решения задач при использовании дифференциальных уравнений.1.Перевод условий на язык математики. 2.Решение задачи. 3. Оценка результатов.

Вопрос 17

· Понятие об обыкновенных дифференциальных уравнениях.

Дифференциальное уравнение - это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значения её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения(ОДУ), в которые входят только функции (и ихпроизводные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Порядком или степеньюдифференциального уравненияназывается наибольший порядок производных, входящих в дифференциальное уравнение.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени. Формулировка второго закона Ньютона для материальной точки дает простейший пример обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с неизвестной функцией координат точки и временем, выступающим в роли независимой переменной.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) -ого порядка — это уравнение вида   где y=y(x) — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной x , штрих означает дифференцирование по x .

Решением дифференциального уравненияназывается n раз дифференцируемаяфункция y(x) , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций (такое параметризованное семейство рещений называется общим решением дифференциального уравнения), и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительные условие: например, потребовать, чтобы решение принимало в данной точке данное значение. Полученное единственное решение называется частным решением. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n -ого порядка может быть выражено в виде Y=f(x,C1,Cn))