Вопрос 6

· Применение производных для исследования функций на экстремум.Экстре́мум в,,математике - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называетсяточкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализевыделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Вопрос 7

· Дифференциал функции.Дифференциаломфункции y=f(x) в точке x называется главная (линейная) часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента.dy=df=   . Аналитический смысл дифференциала – дифференциал функции есть главная часть приращения функции rf, линейная относительно прира щения аргумента rx. Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем rх. Дифферинциал аргумента dx = его приращению rх: dx=rx. Выражение производной через дифференциал функции и дифференциал агрумента: 

 

Вопрос 8

· Применение дифференциального исчисления в приближенных вычислениях.Пусть мы имеем функцию u=f(x,y). Определяя значения х и у мы допускаем погрешность дельта х и дельта у. Тогда значение u также получится с погрешностью дельта u=f(x+rx,y+r у) – f(x,y))

Вопрос 9

· Функции двух и нескольких переменных. Состояние организма как функция многих переменных. Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y). Z=f(x,y). Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.Частное и полное приращение функции. Полное приращение функции дельта z = f(x+дельта x, y+ дельта у) – f(x,y)/ Частное приращение функции дельта z по x = f(x+rx)-f(x,y) Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений. Пример. z=xy. дельта z по x =(x+ дельта x)y-xy=y дельта x, дельта z по y=x(y+ дельта y) – xy =x дельта y.

Вопрос 10

· Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.Для функции двух переменных z=f(x,y) частной производной по переменной x назыв производная этой функции по x при постоянной у. Для функции двух переменных z=f(x,y) частной производной по переменной y назыв производная этой функции по y при постоянной x.Если функция z= f (x y) дифференцируема в точкеP0(x0,y0) , тоглавная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции. Произведение   dx называют частным дифференциалом функции f(x,y) по х и обозначают   .Сумму частных дифференциалов функции z=f(x, y) называют ее полным дифференциалом и обозначают df=   .Полный диффер функции многих независимых переменных = сумме частных дифференциалов: df= 

Вопрос 11

· Первообразная функция и неопределенный интеграл.

Зная закон движения тела, можно, продифференцировав функцию перемещения тела по времени, в любой момент найти его скорость. Часто требуется решить обратную задачу, то есть найти перемещение тела, зная, как изменяется его скорость. Эта и подобные задачи решаются при помощи интегрирования – операции, обратной дифференцированию.

Функция F, заданная на некотором промежутке D, называется первообразной функции f, заданной на том же промежутке, если для любого x?D. Fштрих(x)=f(x)

Так, функция f=x3/3 является первообразной функцииf(x) =x2 в чем можно убедиться, поставив эти функции в определение первообразной. Функция f=x3/3+1 также является первообразной функции f(x)=x2 . Если функция F является первообразной функции f, то все функции вида F + C, где C – константа, и только они являются первообразными функции f. Таким образом, для любой функции ее первообразная F определяется неоднозначно. Для того, чтобы задать ее однозначно, нужно указать точку A (x₀; y₀), удовлетворяющую уравнению y= F (x). Неопределенным интегралом от функции называется множество всех первообразных этой функции.Всякая непрерывная функция на интервале имеет на этом интервале первообразную, а значит и неопределенный интеграл   . Всякая непрерывная функция на интервале имеет на этом интервале первообразную, а значит и неопределенный интеграл.