Вопрос 12

· Основные свойства неопределенного интеграла. Основные формулы интегрирования.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.  Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.   . . Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной константы.   . Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. . Неопределенный интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций.   ,   ,   ,   ,   ,  ,   ,   .

Вопрос13

· Методы нахождения неопределенных интегралов (приведение к табличному виду, метод замены переменной, интегрирование по частям).

Замена переменной: пусть функция х=фи от t определена диффиринцируема на промежутке t и x – множество её значений, функция y=f(x) определена на множестве x и имеет на это множество первообразную, тогда:   * фи штрих от tdt. Метод интегрирования по частям: Пусть функции u=u от x и v= v от x дифференцируемы на промежутке х, существует   Тогда существует интеграл   . И справедлива формула:   .

Вопрос 14

· Определенный интеграл. Свойства определённого интеграла.Если интегральная сумма имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка (a,b) , ни от выбора точек Z , то этот предел называется определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке (a,b) и обозначается 

Cв-ва:1) Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.   2) Определенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций заданных на отрезке (a,b) равен сумме определенных интегралов от слагаемых функций:   =   3) Постоянный множитель R подынтегральной функции можно выносить за знак определенного интеграла:   dx=R   , 4) Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определенный интеграл сохранит абсолют величину и изменит свой знак на противоположный:  , 5) 

Вопрос 15

· Применение определенного интеграла к вычислению площадей фигур и работы переменной силы.Пусть функция f(x) непрерывна на участке [a,b]. Если f(x)>0, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, численно равна интегралу S=   .Если f(x)≤0, то площадь ровна S=   . Если кривая f(x) пересекает ось 0х, то отрезок [a,b] нужно разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знака. К каждой части применяют интегрирование и сумма частей будет равна площади.

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а <bЬ), находится по формуле

A = 

Пример. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пру-'—' жину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?[5]

Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = kх, где k — коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F =10000х.

Искомая работа на основании формулы

равна

A =   =  =5000x²│^0.05₀=12.5 Дж