Вопрос 1

· Функция и аргумент. Способы задания функциональной зависимости.

Функция - это Соответствие между двумя множествами при котором каждому элементу ервого множества по определенному закону или правилу соответствует не более одного множества. Аргумент функции — независимая переменная, от значений которой зависят значения функции. Способы задания функцион зависимости:Аналитический способФункция задается в виде аналитического выражения или формулы, содержащей указания на операции или действия над константами и аргументом x, чтобы получить соответствующие значения y.Табличный способАргумент и вычисляемая функция записываются в таблицу. Форма таблицы может быть вертикальной или горизонтальной.Графический способГрафический способ задания функции является наиболее наглядным и часто применяется в технике. Самописцы и многоканальные шлейфовые осциллографы дают изображение графика (графиков) на бумагу, например, с датчиков, установленных на теле человека при снятии электрокардиограммы сердца. Электронные осциллографы выдают изображение графика на экран электронно-лучевой трубки.

Вопрос 2

· Производная функции как мера скорости процесса. Градиенты.

· Мгновенная скорость есть предел отношения приращения пути к приращению времени, когда приращение времени стремится к нулю. Если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса. Производная функции y=f(x) по аргументу х есть мгновенна скорость изменения функции y=f(x):   .

· Градиент

Градиент - вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой

Вопрос 3

· Геометрический смысл производной.

Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x0.

 

Механическийсмысл

Производная функции   по аргументу x есть мгновенная скорость изменения функции   :   .

 

 

Вопрос 4

· Основные правила дифференцирования и производные элементарных функций.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x, если ее приращение в этой точке можно представить в виде: дельта y = A дельта x+a(дельта x)дельта x . Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную. 1) выбрав нек знач х, дают ему приращение дельта х и находят значение функции в точке х+ дельта х, равное f(x+rx), 2) определяют приращение функции:   , 3) составляют отношение rf/rx и если возможно упрощают его, 4) находят производную функции, т.е. предел   , если этот предел существует   . Производная функции: 1) f(x+rx)=x+rx, 2) rf=x+rx-x=rx, 3) rf/rx=rx/rx=1, 4)  , следовательно 

 

 

Вопрос 5

· Производные высших порядков.

Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у". Итак, у"=(у')'.Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1)) .Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у^ν или у⁽⁵⁾— производная пятого порядка).