Законы движений планет хорошо изучены. Тем более в нашем случае, когда мы считаем, что их орбиты круговыми и скорости их движений по орбитам по величине – постоянными.

Это значит, что мы хорошо знаем для любой даты и времени значения гелиоцентрических долгот Марса (λ_♂) и Земли (λ_з).

Именно это позволяет определить ту дату, когда эта разность будет равна 44,2 градуса и когда возможно осуществить полёт АМС от Земли к Марсу по гомоновской орбите.

Нам осталось определить стартовую скорость, время старта и направление, в котором нужно запускать носитель АМС.

Начнём со стартовой скорости.

Р ассчитаем сначала V₁ - скорость АМС относительно Солнца (гелиоцентрическую скорость), которой она должна обладать в точке З ( в перигелии орбиты), что бы в противоположной её точке (в афелии) АМС оказалась бы от Солнца на расстоянии 1,52 а.е. Именно таков радиус орбиты Марса. Для этого воспользуемся уже известгым нам соотношением – интегралом энергии :

(5)

Рис.8

Напомню, что здесь:

V – скорость двигающегося тела в какой-то точке его эллиптической орбиты;

G - постоянная тяготения;

М – масса центрального тела, в поле тяготения которого происходит движение;

r – радиус вектор точки, в которой находим скорость;

а – большая полуось орбиты, по которой происходит движение.

С этим соотношением мы уже встречались, когда выполняли лабораторную работу, связанную с движением ИСЗ.

Применительно к нашему случаю это соотношение запишется:

(6)

Здесь:

V₁ – скорость АМС относительно Солнца (гелиоцентрическая скорость АМС) в точке (З).

G - постоянная тяготения;

М_© – масса Солнца;

а – радиус вектор точки, в которой находим скорость – радиус орбиты Земли;

а – большая полуось полуэллиптической орбиты АМС .

Подставив в уравнение (6) значения входящих в него величин (в международной системе единиц СИ), получим, что V₁ = 32,7 км/сек.

Поскольку скорость движения Земли по орбите равна 30 км/с, значит АМС должна выйти из поля притяжения Земли и иметь относительно Земли в направлении её движения избыточную скорость

V_{изб. =} V₁ - V = 32,7 – 30 = 2,7 км/сек.

Величина избыточной скорости связана с величиной стартовой скорости и скорости освобождения известным соотношением:

V² _изб. = V² _ст - V² _осв. (7)

Так как наша АМС стартует с поверхности Земли, а не с промежуточной орбиты (об этом будет сказано ниже), то скорость освобождения для нулевой высоты – это вторая космическая скорость V _2к = 11,19 км/сек.

Подставляя значения второй космической и избыточной скоростей в уравнение (7), находим величину стартовой скорости АМС.

V _ст = (V² _2к + V² _изб.)^0,5 = 11,51 км/сек.

Это еще не окончательный ответ. Дело в том, что наш космодром по условию находится на экваторе Земли, и, следовательно, уже двигается со скоростью 0,5 км/сек. Это линейная скорость точек экватора - V_экв. , обусловленная вращением Земли вокруг оси. Это геоцентрическая скорость точек экватора.

Следовательно, ракета-носитель, с помощью которой производится запуск, должна разогнаться относительно стартового стола космодрома не на 11,51 км/сек. , а на полкилометра в секунду меньше, т.е. на 11,01 км/сек. Такую скорость часто называют топоцентрической (т.е относительно какого-то конкретного места на поверхности Земли). Это и будет наш ответ.

V _ст. = 11,01 км\с.

Д алее необходимо решить вопрос о направлении старта. Поскольку целесообразно использовать скорость вращательного вращения Земли вокруг оси, то направление старта будет обязательно точно на восток, т.к. Земля вращается с запада на восток.

Рис. 9