§12. Функция распределения случайной величины и

ее основные свойства.

Определение. Пусть случайная величина. Вещественная функция , заданная на множестве всех вещественных чисел, называется функцией распределения случайной величины .

Необходимо предположить, что события попадают в выбранную алгебру событий для любого ,где множество вещественных чисел, так как вероятность события была введена только для событий, входящих в .

Теорема 12.1. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Тогда для любого верно неравенство .

Теорема 12.2. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Тогда функция неубывает всюду на .

Теорема 12.3. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того

, .

Тогда верны равенства: 1) ; 2) .

Теорема 12.4 (о непрерывности функции слева). Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того, левый односторонний предел функции в точке .

Тогда верно равенство .

Из теорем 2.1−2.4 следует, что график функции распределения выглядит примерно так:

Замечание. Можно показать, что любая функция , обладающая свойствами, указанными в теоремах 12.1−12.4, является функцией распределения некоторой случайной величины .

Теорема 12.5 (о вероятности попадания случайной величины в промежуток). Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того, известно, что:

и правые односторонние пределы функции в точках и соответственно, , , ; , .

Тогда верны равенства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Замечание. Полезно думать, что функция распределения случайной величины−это главная вероятностная функция случайной величины. С ее помощью можно найти многие числовые характеристики случайной величины. Поэтому часто, задавая случайную величину, указывают ее функцию распределения или любой объект, с помощью которого функция распределения однозначно восстанавливается. Этот объект, также как и саму функцию распределения, обычно называют законом распределения случайной величины. Надо добавить, что на практике функцию распределения случайной величины можно найти приближенно с помощью эмпирической функции распределения методами математической статистики. Для вычисления числовых характеристик случайной величины требуется хорошо знать теорию интегралов, конечных сумм, рядов (бесконечных сумм). Явно недостаточно использование определенного интеграла и несобственных интегралов и интегрирования по Риману. Из-за этого в традиционных курсах теории вероятностей для технических университетов отдельно изучаются дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины. Это приводит к неполной теории случайных величин. Если применять интегралы Стильтьеса или интегралы по мере (по вероятности) , а также интегрирование по Лебегу, то все случайные величины можно изучать вместе и получается полная теория случайных величин. Такая теория рассматривается в серьезных курсах теории вероятностей