3. . Шредингер теңдеуін шешу әдістері

Атомдық және ядролық потенциалдар тек радиус вектордың модуліне тәуелді болса, ондай потенциалдарды сфералық симметриялы потенциалдар деп айтамыз. Мұндай потенциалдардың мысалы ретінде кулон, гармоникалық осциллятор, Юкава потенциалдары жатады. Кез келген потенциал үшін ШТ-нен энергетикалық спектрін аналитикалық тұрғыдан анықтау мүмкін емес. Сондықтан біз ШТ шешетін жуықтау әдістерін қарастырамыз. Осы әдіс бойынша, кулондық потенциалдың энергетикалық спектрін анықтайық. Сонда сутегі атомы үшін Шредингер теңдеуі:

(2.51)

деп жазылады. (2.51) теңдеуідегі кинетикалық энергияның операторын декарттық және сфералық координаттар жүйесінде:

(2.52)

деп анықталады. Мұндағы − орбиталдық момент операторы:

. (2.53)

Толқындық функция бұл кезде координаттық және бұрыштық бөліктерден тұрады:

. (2.54)

Толқын функция бұрыштық тәуелділігі сфералық гармоника функциясымен өрнектеледі және бұл функция орбиталдық моменттің меншікті функциясы болады немесе

. (2.55)

Нормалау шарты:

(2.56)

болады. Осы нормалдау шартын пайдаланып және (2.52), (2.55) ескере отырып, қарапайым ықшамдаулардан кейін (2.51) өрнегінен радиалды Шредингер теңдеуін:

(2.57)

түрінде жазамыз. Толқындық функция (ТФ) болса , болса , болса күйлерді сипаттайды.

Енді осы Шредингердің теңдеуін осцилляторда өрнектелу (ОӨ) әдісінде қалай анықтайтынын көрсетеміз, ол үшін деп түрлендіру жасаймыз. Сонда бірінші және екінші дифференциалды:

; (2.58)

түрінде анықтаймыз. (2.57) Шредингердің теңдеуіне (2.58) қойып, ықшамдаулар жүргізіп, ШТ:

(2.59)

деп жазылады. Содан соң осцилляторда өрнектелу әдісінде толқындық функцияны:

(2.60)

деп түрлендіреміз. Түрлендірілген ТФ үшін ШТ жазайық. Ол үшін бірінші және екінші дифференциалдарды:

; (2.61)

деп анықтаймыз. (2.60) түрлендіруді (2.59) қойып, қарапайым ықшамдаулардан кейін, радиалдық ШТ келесі түрде жазылады:

(2.62)

мұндағы . (2.60) түрлендірудің нәтижесінде (2.59) теңдеуден − өлшемді ШТ шығарып алдық. Осы ШТ потенциал гармоникалық осциллятор болып түрленді. ОӨ әдісінде − өлшемді кеңістікке өткенде потенциал осциллятор болып түрленеді. Келесі теңдеуден энергетикалық спектрін (ЭС) табамыз.

. (2.63)

(2.63) өрнекке сай энергетикалық спектр теңдеуін қанағатандырады. Осы теңдеуден алғашқы гамильтонианның энергетикалық спектрін анықтаймыз. (2.63) теңдеуден ОӨ әдісінен қалай есептейтініне тоқталайық:

. (2.64)

Осы Шредингер теңдеуінің шешімін табу керек. деп алып, одан -ны табамыз. Бұл әдісті осцилляторда өрнектеліну әдісі деп атайды. Бұл әдісте кванттық өріс теориясының әдісін кванттық механика есептерін шешуде қолданады. Ол үшін гамильтонианды:

(2.65)

түрінде жазылады. Мұндағы - еркін осциллятордың гамильтонианы. Бұл әдісті қолдану үшін каноникалық айнымалыларды, импульс және координатты, - туу және жою операторларымен өрнектейміз. Ол үшін келесі шарттар қанағаттандырылуы керек:

1. Гамильтониан қалыптандырылған түрде болуы керек немесе тудыратын оператор сол жағында, ал жою операторы оң жағында орналасуы керек;

2. Қалыптандырылған түрдегі әсерлесу гамильтонианда каноникалық координаттың квадраттық түрдегі оператордың коэффициенті нөлге тең болуы керек. Бұны ОӨ әдісінің шарты деп атайды.

Енді осы шарттарға сәйкес каноникалық айнымалыларды туу және жою операторлары арқылы өрнектейік:

(2.66)

(2.64) теңдеудегі гамильтонианға (2.66) қойып, гамильтонианды қалыпты түрде жазамыз. және каноникалық айнымалыларды мен операторлары арқылы өрнектеп, ықшамдаймыз, сонда:

(2.67)

Каноникалық айнымалыларды қалыпты түрде жаздық. Толық гамильтониан:

(2.68)

немесе

(2.69)

түрінде жазылады. Мұндағы − еркін осциллятордың гамильтонианы

, (2.70)

ал , − өлшемді кеңістігіндегі, нөлдік жуықтау энергиясы:

. (2.71)

- әсерлесу гамильтонианы кулон потенциалы үшін нөлге тең. әсерлесу гамильтонианында квадраттық мүшелер болмауы керек деген шартты қанағаттандыру үшін - коэффициентін нөл деп алып, содан -ны табатын теңдеу шықты,

. (2.72)

Осы теңдеуден

. (2.73)

Алғашқы гамильтонианның энергетикалық спектрін есептейміз:

. (2.74)

Бұл әдеттегі кулон потенциалының энергетикалық спектрі. Енді аналитикалық түрде есептелмейтін потенциалдар үшін ШТ осы әдіс шеңберінде қалай шешетінін көрсетейік.

Бақылау сұрақтары:

1. Сфералық симметриялы потенциалдар қандай потенциалдар?

2. Шредингер теңдеуін қандай жуықтау әдістермен шешеміз?

3. Радиалды Шредингер теңдеуін қалай жазамыз?

4. Кулон потенциалының ЭС неге тең?

5. Каноникалық айнымалылар үшін толық гамильтониан қалай жазылады?