Типы задач «прямая-плоскость» (примеры)

1. На доказательство:

Докажите, что прямая, соединяющая середины ребер АВ и АС тетраэдра АВСД, параллельна плоскости ВСД.

Пути решения:

Чтобы доказать, что прямая параллельна данной плоскости, нужно доказать, что она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в данной плоскости

2. На вычисление (нахождение)

Расстояние от точки А до каждой из вершин правильного треугольника ДВС равно 4. Найдите расстояние от точки А до плоскости ДВС, если ДВ=6.

П ути поиска решения:

- определение расстояния от точки до плоскости;

- равные наклонные имеют равные проекции;

- рассмотреть треугольник ВДС, точка Н равноудалена от вершин.

3. На построение:

Найдите точку пересечения прямой Д₁К₁ с плоскостью α основания параллелепипеда АВСДА₁В ₁С ₁Д ₁. Проведите через точку К в плоскости ВСС ₁В ₁ прямую параллельную плоскости α.

Пути поиска решения:

- чтобы построить точку пересечения прямой и плоскости, необходимо найти точку пересечения данной прямой с прямой пересечения плоскостей (в которой лежит данная прямая и той, которую она пересекает);

- чтобы провести прямую через точку К параллельно плоскости, нужно провести параллельную прямую к какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Задачи «плоскость-плоскость»:

1. На доказательство:

Д окажите, что в параллелепипеде АВСДА₁В₁С₁Д₁ плоскость А₁ВД параллельна плоскости Д₁СВ₁

Пути поиска решения:

Чтобы доказать параллельность двух плоскостей нужно найти пересекающиеся прямые в одной плоскости и доказать что они параллельны пересекающимся прямым другой плоскости

2. На вычисление (нахождение):

Плоскости правильного треугольник КДМ и квадрата КMNP взаимно перпендикулярны. Найдите ДN если КМ = а.

Пути поиска решения:

Доказать перпендикулярность прямых, лежащих в перпендикулярных плоскостях.

3. На построение:

Начертите куб АВСДА₁В₁С₁Д₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через ребро АА₁ и перпендикулярно к плоскости ВВ₁Д₁ Д

Выводы:

- признаки параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей - основа для организации поиска решения задач соответствующего типа,

- часть признаков формулируется по аналогии с планиметрией,

- доказательство признаков основано на методе от противного или сведении рассуждений к уже известным признакам,

- признаки параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей - основа для применения одного из методов построения сечений многогранников (тел вращения).

Простейшие позиционные задачи – задачи на построение сечений многогранников плоскостью, заданной явно или частично условно.

Явный способ задания секущей плоскости:

- 3 точки, не лежащие на одной прямой;

- 2 пересекающиеся прямые;

- прямая и точка, не лежащая на ней;

- 2 параллельными прямые.

Частично условный способ задания секущей плоскости:

дан один явный элемент секущей плоскости (точка или прямая)

и условие параллельности или перпендикулярности секущей плоскости по отношению к элементам многогранника.

Рассмотрим суть каждого из методов.

1. В общем случае считают, что секущая плоскость пересекает плоскость каждой грани многогранника и каждую прямую, на которой лежат ребра многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает какую-либо грань многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскость этой грани, а точку, в которой секущая плоскость пересекает прямую, содержащую какое-либо ребро, называют следом секущей плоскости на этой прямой. Построение обычно начинают с построение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания.

Алгоритм построения сечения методом следов

1. Выяснить имеются ли в одной грани две точки сечения (если да, то через них можно провести сторону сечения).

2. Построить след сечения на плоскости основания многогранника.

3. Найти дополнительную точку сечения на ребре многогранника (продолжить сторону основания той грани, в которой есть точка сечения, до пересечения со следом).

4. Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую, отметить точки пересечения её с рёбрами грани.

5. Выполнить п.1.

Ограничения применения:

- выбранная прямая секущей плоскости параллельна плоскости проекций (опорной плоскости);

- след выбранной прямой секущей плоскости находится за рамками чертежа (прямая «почти параллельна» плоскости проекций);

- условием задачи или предыдущим шагами решения установлено положение только одной точки, принадлежащей секущей плоскости.

2. Метод соответствия или метод внутреннего проецирования.

Когда след секущей оказывается за пределами чертежа, то более эффективным является метод вспомогательных сечений.

Суть метода – найти дополнительные точки секущей плоскости по проекциям ее известных точек на опорную плоскость