Пример решения типового задания

Задание №1

Дано комплексное число .

1. Записать число в алгебраической, тригонометрической и показательной форме, изобразив его на комплексной плоскости.

2. Вычислить .

Решение:

1. Приведем к алгебраической форме комплексного числа. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число комплексно сопряженное знаменателю. Получим:

Итак, алгебраическая форма комплексного числа .

Запишем в тригонометрическом виде, используя формулу (1):

Имеем:,

Изобразим на комплексной плоскости:

0 1 х

у

Итак, тригонометрическая форма имеет вид:

. В показательной форме: .

2. Вычислим , используя формулу:

Ответ: 1. ;

2.

Пример 2.

1. Решить уравнение .

2. Записать корни уравнения и в алгебраической, тригонометрической и показательной форме, изобразив их на комплексной плоскости.

Решение:

1. Найдем корни данного квадратного уравнения по известной формуле

, зная, что .

(Знак используется как квадратный корень из комплексного числа!)

Получим два комплексно сопряженных корня

.

2. Имеем алгебраическую форму и .

Действительная и мнимая часть, соответственно, равны:

Изобразим и на комплексной плоскости:

y

Запишем числа и в тригонометрической и показательной форме.

Имеем: , ,

;

, ; ;

.

Ответ:

Задание № 2

Вычислить пределы.

Решение.

1.(разложим числитель и знаменатель на множители);

2. (разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень ; в данном случае на )=

(т.к. функция, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая: );

3. (умножим числитель и знаменатель на )

=;

4. (применим правило Лопиталя (3)) .

Ответ: 1. ; 2. ;

3. ; 4.

Задание №3

Подобрать параметры и так, чтобы функция была непрерывна.

Решение.

Функция составлена из элементарных функций, каждая из которых непрерывна на указанных промежутках. Непрерывность может нарушаться только в точках и .

Вычислим односторонние пределы функции в этих точках.

а) ; ;

.

Условие непрерывности функции в точке записывается в виде .

б) ; ; .

Условие непрерывности функции в точке записывается в виде .

в) Получаем систему линейных уравнений:

.

Решение системы дает значения искомых параметров: .

Ответ:

Задание №4

Продифференцировать данные функции по переменной .

1. ; 2. ; 3. .

Решение.

1.

.

Используем правило дифференцирования сложной функции: если , где функции и имеют производные, то . Полагаем и . Получаем:

.

Тогда

.

2. В этой задаче функция задана параметрически, т.е. уравнениями:

.

Производная находится по формуле:.

Проводим вычисления:

;

.

3. Функция задана неявно уравнением . Для определения нужно продифференцировать функцию по , рассматривая при этом как функцию переменной . Приравнивая полученную производную к нулю, получаем уравнение первой степени относительно . Из этого уравнения и находим производную.

, ,

, ,

.

Ответ: 1. ;

2. ; 3. .

Задание №5

Исследовать функцию с помощью производной и построить график.

Решение.

1. Область определения функции: ; ;

2. Точки пересечения с осями координат.

, так как уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью .

, т.е. график пересекает ось в точке (0;–1).

3. Исследование функции на четность (нечетность).

.

Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. – это функция общего вида.

4. Функция непериодическая.

5. Исследование непрерывности. Классификация точек разрыва.

Функция терпит разрыв в точке . Определим тип разрыва:

.

Односторонние пределы функции бесконечны, следовательно, – точка разрыва второго рода (точка бесконечного разрыва).

6. Интервалы монотонности, точки экстремума функции.

Найдем первую производную функции:

, .

Точки экстремума:

Функция имеет максимум при , так как в при переходе через эту точку производная меняет знак с (+) на (–), причем .

Функция имеет минимум при , так как при переходе через эту точку производная меняет знак с (–) на (+), причем .

Функция возрастает при .

Функция убывает при

7. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Найдем вторую производную функции:

в ноль не обращается, значит, точек перегиба нет.

При направление выпуклости графика вверх (выпуклость), а при – вниз (вогнутость).

8. Асимптоты.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции (см. пункт 5).

Найдем наклонные асимптоты :

;

Итак, график имеет наклонную асимптоту (правую и левую).

9. График функции.

-1 0 1 x

19